线性代数第五章知识要点课件.ppt

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1、内积满足下列运算规律:(i)[x,y]=[y,x];(ii)[x,y]=[x,y];(iii)[x+y,z]=[x,z]+[y,z].(2)定义2称为n维向量x的长度(或范数).向量长度具有下列性质:(i)非负性:当x0时,

2、

3、x

4、

5、>0;当x=0时,

6、

7、x

8、

9、=0.(ii)齐次性:

10、

11、x

12、

13、=

14、

15、

16、

17、x

18、

19、;(iii)三角不等式:

20、

21、x+y

22、

23、≤

24、

25、x

26、

27、+

28、

29、y

30、

31、.向量内积满足施瓦茨不等式:[x,y]2≤[x,x][y,y].称为n维向量x与y的夹角.当[x,y]=0时,称向量x与y正交.(3)当

32、

33、x

34、

35、0,

36、

37、y

38、

39、0时,(4)正交向量组的性质

40、若n维向量a1,a2,···,ar是一组两两正交的非零向量组,则(i)a1,a2,···,ar必线性无关;(ii)(5)定义3设n维向量e1,e2,···,er是向量空间V(VRn)的一个基,如果e1,e2,···,er两两正交,且都是单位向量,则称e1,e2,···,er是V的一个规范正交基.(6)施密特(Schmidt)正交化过程从线性无关向量组a1,a2,···,ar导出与之等价的正交向量组b1,b2,···,br的过程称为施密特正交化过程．若a1,a2,···,ar是向量空间Ｖ的一组基，通过正交化,单位化,都可以找到与之等价的一组规范正交基e1,e2,···

41、,er,称为把a1,a2,···,ar这个基规范正交化.(7)定义4若n阶方阵A满足ATA=E(即A-1=AT),则称A为正交矩阵.A=(aij)n×n为正交矩阵的充要条件是或(8)定义5若P为正交矩阵,则线性变换y=Px称为正交变换.正交变换具有保持向量长度不变的优良性质.2.方阵的特征值与特征向量(1)定义6设A是n阶方阵,如果数和n维非零列向量x使关系式Ax=x成立,那么,数称为方阵A的特征值,非零列向量x称为A的对应于特征值的特征向量.

42、A-E

43、=0称为方阵A的特征方程,f()=

44、A-E

45、称为方阵A的特征多项式.n阶方阵A有n个特征值.若A=(a

46、ij)的特征值为1,2,···,n,则有(i)1+2+···+n=a11+a22+···+ann;(ii)12···n=

47、A

48、.(2)有关特征值的一些结论设是A=(aij)n×n的特征值,则(i)也是AT的特征值.(ii)k是Ak的特征值(k为任意自然数);是A的特征值,其中=a0+a1+···+amm,A=a0E+a1A+···+amAm.(iii)当A可逆时,1/是A-1的特征值;

49、A

50、/是A的特征值.(3)有关特征向量的一些结论(i)对应于不同特征值的特征向量是线性无关的.(ii)对应于同一个特征值的

51、特征向量的非零线性组合仍是该特征值的特征向量.3.相似矩阵(1)定义7设A，B都是n阶方阵,若有可逆矩阵P,使P-1AP=B,则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似.相似关系的性质:(i)自反性:矩阵A与自身相似;(ii)对称性:若矩阵A与B相似,则矩阵B与A也相似；(iii)传递性:若矩阵A与B相似,矩阵B与C相似,则矩阵A与C相似.(2)有关相似矩阵的性质(i)若矩阵A与B相似,则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值亦相同.(ii)若矩阵A与相似，则1,2,···,n是A的n个特征值.(iii)若A=PBP-1,则Ak=PBkP-1;(A)=P(

52、B)P-1.特别地,若有可逆矩阵P,使P-1AP=为对角矩阵,则有Ak=PkP-1;(A)=P()P-1.(3)An×n的对角化(i)A能对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量.(ii)若A有n个互异的特征值,则A与对角矩阵相似,即A可对角化.4.实对称矩阵的相似矩阵(1)实对称矩阵的特征值为实数.(2)实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量必正交.(3)若是实对称矩阵A的r重特征值,则对应于的特征向量必有r个,且它们线性无关.(4)实对称矩阵必可对角化.即若A为n阶实对称矩阵,则必有正交矩阵P,使得P-1AP=,其中是以A的n个特征值为对角元

53、素的对角矩阵.5.二次型及其标准形(1)定义8含有n个变量x1,x2,···,xn的二次齐次函数f(x1,x2,···,xn)=a11x12+a22x22+···+annxn2+2a12x1x2+2a13x1x3+···+2an-1,nxn-1xn称为二次型.二次型可记为f=xTAx,其中AT=A.A称为二次型f的矩阵,f称为对称矩阵A的二次型.对称矩阵A的秩称为二次型f的秩.二次型与它的矩阵是一一对应的.当aij是复数时,f称为复二次型;当aij是实数时,f称为实二次型.我们只讨论实二次型.(2)只含平方项的二次型,称为二次型的标准形(或法式).(