2012考研线性代数知识要点必看

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1、知识要点一、内容提要1.矩阵的初等变换(1)定义定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:(i)对调两行(对调i,j两行,记作rirj);(ii)以数k0乘某一行中的所有元素(第i行乘k,记作ri×k);(iii)把某一行所有元素的k倍加到另一行对应元素上去(第j行的k倍加到第i行上,记作ri+krj).定义2下面三种变换称为矩阵的初等列变换:(i)对调两列(对调i,j两列,记作cicj);(ii)以数k0乘某一列中的所有元素(第i列乘k,记作ci×k);(iii)把某一列所有元素的k倍加到另一列对应元素

2、上去(第j列的k倍加到第i列上,记作ci+kcj).定义3矩阵的初等行变换与初等列变换,统称为矩阵的初等变换.定义4如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B,则称矩阵A与B等价,记作A~B.定义5满足下面两个条件的矩阵称为行阶梯形矩阵:(i)非零行(元素不全为零的行)的标号小于零行(元素全为零的行)的标号;(ii)设矩阵有r个非零行,第i个非零行的第一个非零元素所在的列号为ti(i=1,2,···,r),则t1

3、元素所在的列的其他元素全为零,则称该矩阵为行最简形矩阵.定义7如果一个矩阵的左上角为单位矩阵,其他位置的元素都为零,则称这个矩阵为标准形矩阵.(2)性质定理1矩阵的等价关系有下列性质:(i)反身性A~A;(ii)对称性若A~B,则B~A;(iii)传递性若A~B,B~C,则A~C.定理2任何矩阵都可经过单纯的初等行变换化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.任何矩阵都可经过初等变换化为标准形矩阵.2.矩阵的秩(1)定义定义8设在矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D,且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于零,那么D称为矩

4、阵A的最高阶非零子式,数r称为矩阵A的秩,记作R(A),并规定零矩阵的秩等于零.(2)定理定理3若A~B,则R(A)=R(B).3.初等矩阵(1)定义定义9由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.(2)三种初等矩阵E(i,j):对调E的第i行与第j行;E(i(k)):E的第i行乘以数k;E(ij(k)):E的第j行的k倍加到第i行上去.(3)性质定理4初等矩阵都是可逆的,且(i)E(i,j)-1=E(i,j);(ii)(iii)E(ij(k))-1=E(ij(-k)).定理5设A是一个mn矩阵,对

5、A施行一次初等行变换,相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵;对A施行一次初等列变换,相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.定理6设A为可逆矩阵,则存在有限个初等矩阵P1,P2,···,Pl,使A=P1P2···Pl.推论m×n矩阵A~B的充要条件是，存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q,使PAQ=B.4.线性方程组的解定理7n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是系数矩阵的秩R(A)

6、1.掌握矩阵的秩、矩阵等价等概念,会求矩阵的秩.2.理解初等变换与初等矩阵概念,会用初等变换法求矩阵的逆、矩阵的秩;求矩阵的标准形;解方程组等.重点用初等行变换法求矩阵的逆、秩，解方程组.难点初等矩阵的性质.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想

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