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《线性代数复习_各章知识要点第六章_知识要点课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、知识要点一、内容提要1.线性空间的定义、例、性质知道线性空间的定义.线性空间的定义中有两个集合,一个是非空集合V,一个是实数域R.有两种被称作线性运算的运算,一种是V中元素(统称为向量)之间的运算,另一种是V中元素与实数k之间的运算,要求V对这两种运算都封闭.有八条运算法则,这两种运算要满足八条运算法则.线性空间是第三章中向量空间的推广,也就是说n元有序数组是一种线性空间,记为Rn,此外常见的线性空间有:次数不超过n的多项式的全体,记作P[x]n;元素皆为实数的m行,n列矩阵的全体,记作Rm×n.线性空间有如下性质:(1)零元素是唯一的;(2)任一元素的负元素唯一;
2、(3)0=0,(-1)=-,0=0,(-)=-;(4)如果=0,则=0,=0至少有一个成立.2.线性子空间的定义及判别定理设L是线性空间V的非空子集,如果L对V中定义的两种线性运算也成线性空间,则称L是V的子空间.L为V的子空间的充要条件是L对V中的线性运算封闭.3.线性空间的基、维数、坐标、同构线性空间V中的n个元素1,2,···,n,如果满足(1)1,2,···,n线性无关,(2)V中任一元素可由1,2,···,n线性表示,则称1,2,···,n为V的一个基.V中任一个基中的元素个数叫做V的维数.如:我们已经
3、学过的Rn,它的一个基是它的有序数组:(1,0,···,0),(0,1,···,0),···,(0,0,···,1).又如:1,x,···,xn是P[x]n的一个基,因此P[x]n的维数是n+1.再如:记aij=1,其他元素都是0的矩阵Eij,则Eij,i从1到m,j从1到n是Rm×n的一个基,Rm×n的维数是m×n.设1,2,···,n是线性空间V的一个基,则V,有唯一的等式=x11+x22+···+xnn,称x1,x2,···,xn为向量在基1,2,···,n下的坐标.若在两个线性空间V1,V2之间有保持线性运算的一一对应,则称V1与
4、V2同构.任何n维线性空间V与Rn同构,任何两个维数相同的线性空间同构.4.基变换与坐标变换若1,2,···,n与1,2,···,n是线性空间V的两组基,且记称矩阵A为基1,2,···,n到基1,2,···,n的过渡矩阵.过渡矩阵一定可逆,且由基1,2,···,n到基1,2,···,n的过渡矩阵为A-1.且如果向量在基1,2,···,n下的坐标为(x1,x2,···,xn)T,在基1,2,···,n下的坐标为(x1,x2,···,xn)T,则5.线性变换称线性空间V到其自身的保持线性运算的变换叫线性变换.线性变
5、换有如下性质:T(0)=0,T(-)=-T()T(k11+k22+···+knn)=k1T(1)+k2T(2)+···+knT(n).若1,2,···,n线性无关,则T(1),T(2),···,T(n)线性无关(注意反之不真).线性变换T把V的子空间V1映射成V的子空间,即T(V1)是V的子空间.称T(V)是线性变换T的像集,使T()=0(V)的全体叫线性变换T的核,核也是V的子空间.6.线性变换与矩阵设T是线性空间V的线性变换,1,2,···,n是V的一组基,且记则且称矩阵A为线性变换T在基1,2,···,n下的矩阵.
6、在线性空间基给定的前提下,有一个线性变换就有一个矩阵;反之,有一个矩阵就确定了一个线性变换.现给出线性空间的两个基:基Ⅰ、基Ⅱ,从基Ⅰ到基Ⅱ的过渡矩阵为P,线性变换T在基Ⅰ、基Ⅱ下的矩阵分别为A,B,则有B=P-1AP.二、基本要求与重点、难点基本要求1.了解线性空间的定义,了解Rn,P[x]n,Rm×n是线性空间.2.掌握线性子空间的判别定理,并能用来判定Rn,P[x]n,Rm×n的子集是否是线性空间.3.掌握基变换公式,坐标变换公式,并能求向量在基下的坐标,基之间的过渡矩阵.4.清楚Rn是n维的,P[x]n是n+1维的,Rm×n是m×n维的线性空间,并能举出各自
7、的基.5.会判定线性空间的变换是否是线性变换,会求线性变换在给定基下的矩阵.掌握线性变换在不同基下的矩阵之间的关系.重点线性变换与线性空间的定义与性质.难点线性变换与线性空间的判别法.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.
