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1、线性代数复习要点第二章可逆阵的性质初等变换矩阵方程的求解2.1.1矩阵转置，矩阵可逆和矩阵伴随阵的性质矩阵转置的性质：(aty=a(AB)t=BW(M)r=kAT
2、Ar
3、=
4、A
5、(A+B)r=Ar+Br矩阵可逆的性质：(A']Yl=A(AB)-'(M)"1a-1=14*（小=（"尸(A-1/'=(Akyl=A~k伴随矩阵的性质：(Ay=A[~2A(AB^=BA^（如A*=
6、A厂(A-ly=^yl=-^(ATy=(Ay(Ay=(AkyA4*=A*A=
7、A
8、E心*)=n若厂(A)=农1若r(A)=n- 若r(A)9、m10、=f11、a12、可逆矩13、阵的乘积一定可逆可逆矩阵的和不一定可逆2.1.24为斤阶可逆矩阵14、“0o厂（A）foA可逆Q心EoAtE（A与£等价）列变o4X=0只有惟一零解^AX=h有惟一解（克莱姆法则）oA的行（列）向量组线性无关oA的/?个特征值入H0,i=1,2,…,n«A可写成若干个初等矩阵的乘积o心B）=r（B）o是正定矩阵A=0oH=-15、Al2.1.3.人为料阶不可逆矩阵oAX二0有非零解<=>心）16、的;（2）n阶方阵A可逆的充要条件1）用矩阵的方式描述：存在矩阵B使得AB二E或BA二E（即定义）；2）用A的行列式凶来描述：17、A18、^0;3）用矩阵的秩来描述：厂（4）=斤这里〃是矩阵A的阶数；4）用向量的观点来描述：矩阵A的行向量组（或列向量组）线性无关；5）用方程组的观点来描述：方程组AX二0仅有0解；6）用矩阵A的特征值来描述：A的特征值全不0；（3）逆矩阵的性质1)若A有逆矩阵，则逆矩阵是唯一的;2)若A,B是同阶可逆矩阵,则AB也可逆,且（AB）-1=B-[A[:3)、T4)'A0<0B丿0、0B2.2逆矩阵的求法:①喘②⑺迥初等彳亍变换〉（圧川）19、③bJ_1~d-bd_ad一be-ca1石~AB~T~ArC广CDB1D1~ai~-1-丄-•••■■丄•a2_an.丄A・-1_A_,'■A--1_A/,_⑤a2•V1•■■■■••■■■■■_4_・V1._A..・1an2.3矩阵方程的解法：设法化成仃）AX=B或仃］)XA=B当20、a21、ho吋,（I）的解法：构造SB）初和变换〉（£x）（当B为一列时，即为克莱姆法则）（II）的解法：将等式两边转置化^JAtXt=B用（1）的方法求出X7；再转置得X第三章行列式的性质行列式的计算转置伴随阵纯数字的四阶行列式计算2.1川阶行列式的5大性质质质质质1：转置（行与22、列顺次互换）其值不变。2：互换任意两行（列）其值变号。3：任意某行（列）可提出公因子到行列式符号外。4：任意行列式可按某行（列）分解为两个行列式之和。性质5：把行列式某行（列）$倍后再加到另一行（列），其值不变。3.2行列式的计算:①若人与〃都是方阵（不必同阶），则*B~oA=a\b②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.*九Oa2n-•■—a2n-•■■anl°•anlo③关于副对角线:I=（一1）2仏3.3关于伴随矩阵3.3.1伴随矩阵的定义，强调伴随矩阵屮元素的构成规律；3.3.2伴随矩阵常用的性质对于任意的方阵A均有此伴随矩阵A二丄当23、24、A25、=OW：AA"=A'A=0对于一般地方阵A,其伴随矩阵才的秩为:n若厂(A)=nr(A)=<1若r(A)=n- 若心)S—2当26、A27、H0时⑷二国"二当国=00寸28、須=0o第四章求解含有非零参数的线性方程组的解3.1线性方程组解的性质1）如果％卩是齐次线性方程组加=°的两个解，则a+卩也是它的解。2）如果a是齐次线性方程组山的解，则koc也是它的解。3）如果有al,a2,…，as是人兀的解,则klal+k2a2+・・・+ksas也是它的解.ki为任意常数（i=l,2,…，s）。4）如果a,卩是非齐次线性方程组^=b的两个解，贝临-卩是导出组山的解。5）如果29、a是山=0的解，卩是^=h的解，贝妆+卩是似"的解。6）如果儿必，…亿是Ar=b的解，也，…人为常数，且心+他+・讥=1,则3+5+…3$也是Ax=b的解。3.2线性方程组解的判定定理2.2.1非齐次线性方程组=b1）若秩⑷工秩（入）,则山"无解。则有唯一解，2）若秩（人）=秩（A）［＜仏则有无穷多解。具体做法：设^=b的增广矩阵记为万，则只经过初等行变换可化为如下的阶梯形矩阵（需要交换列时可重新排列未知量的顺序）:于是可知:(1)当dr+l=O,且r二n时，原方程组有唯一解。(2)当dr+l=O,且玫n时，原方程组有无穷多解。(3)当dr+lHO,原方程组30、无解。当方程组有解时，写出阶梯形矩阵对
9、m
10、=f
11、a
12、可逆矩
13、阵的乘积一定可逆可逆矩阵的和不一定可逆2.1.24为斤阶可逆矩阵
14、“0o厂（A）foA可逆Q心EoAtE（A与£等价）列变o4X=0只有惟一零解^AX=h有惟一解（克莱姆法则）oA的行（列）向量组线性无关oA的/?个特征值入H0,i=1,2,…,n«A可写成若干个初等矩阵的乘积o心B）=r（B）o是正定矩阵A=0oH=-
15、Al2.1.3.人为料阶不可逆矩阵oAX二0有非零解<=>心）16、的;（2）n阶方阵A可逆的充要条件1）用矩阵的方式描述：存在矩阵B使得AB二E或BA二E（即定义）；2）用A的行列式凶来描述：17、A18、^0;3）用矩阵的秩来描述：厂（4）=斤这里〃是矩阵A的阶数；4）用向量的观点来描述：矩阵A的行向量组（或列向量组）线性无关；5）用方程组的观点来描述：方程组AX二0仅有0解；6）用矩阵A的特征值来描述：A的特征值全不0；（3）逆矩阵的性质1)若A有逆矩阵，则逆矩阵是唯一的;2)若A,B是同阶可逆矩阵,则AB也可逆,且（AB）-1=B-[A[:3)、T4)'A0<0B丿0、0B2.2逆矩阵的求法:①喘②⑺迥初等彳亍变换〉（圧川）19、③bJ_1~d-bd_ad一be-ca1石~AB~T~ArC广CDB1D1~ai~-1-丄-•••■■丄•a2_an.丄A・-1_A_,'■A--1_A/,_⑤a2•V1•■■■■••■■■■■_4_・V1._A..・1an2.3矩阵方程的解法：设法化成仃）AX=B或仃］)XA=B当20、a21、ho吋,（I）的解法：构造SB）初和变换〉（£x）（当B为一列时，即为克莱姆法则）（II）的解法：将等式两边转置化^JAtXt=B用（1）的方法求出X7；再转置得X第三章行列式的性质行列式的计算转置伴随阵纯数字的四阶行列式计算2.1川阶行列式的5大性质质质质质1：转置（行与22、列顺次互换）其值不变。2：互换任意两行（列）其值变号。3：任意某行（列）可提出公因子到行列式符号外。4：任意行列式可按某行（列）分解为两个行列式之和。性质5：把行列式某行（列）$倍后再加到另一行（列），其值不变。3.2行列式的计算:①若人与〃都是方阵（不必同阶），则*B~oA=a\b②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.*九Oa2n-•■—a2n-•■■anl°•anlo③关于副对角线:I=（一1）2仏3.3关于伴随矩阵3.3.1伴随矩阵的定义，强调伴随矩阵屮元素的构成规律；3.3.2伴随矩阵常用的性质对于任意的方阵A均有此伴随矩阵A二丄当23、24、A25、=OW：AA"=A'A=0对于一般地方阵A,其伴随矩阵才的秩为:n若厂(A)=nr(A)=<1若r(A)=n- 若心)S—2当26、A27、H0时⑷二国"二当国=00寸28、須=0o第四章求解含有非零参数的线性方程组的解3.1线性方程组解的性质1）如果％卩是齐次线性方程组加=°的两个解，则a+卩也是它的解。2）如果a是齐次线性方程组山的解，则koc也是它的解。3）如果有al,a2,…，as是人兀的解,则klal+k2a2+・・・+ksas也是它的解.ki为任意常数（i=l,2,…，s）。4）如果a,卩是非齐次线性方程组^=b的两个解，贝临-卩是导出组山的解。5）如果29、a是山=0的解，卩是^=h的解，贝妆+卩是似"的解。6）如果儿必，…亿是Ar=b的解，也，…人为常数，且心+他+・讥=1,则3+5+…3$也是Ax=b的解。3.2线性方程组解的判定定理2.2.1非齐次线性方程组=b1）若秩⑷工秩（入）,则山"无解。则有唯一解，2）若秩（人）=秩（A）［＜仏则有无穷多解。具体做法：设^=b的增广矩阵记为万，则只经过初等行变换可化为如下的阶梯形矩阵（需要交换列时可重新排列未知量的顺序）:于是可知:(1)当dr+l=O,且r二n时，原方程组有唯一解。(2)当dr+l=O,且玫n时，原方程组有无穷多解。(3)当dr+lHO,原方程组30、无解。当方程组有解时，写出阶梯形矩阵对
16、的;（2）n阶方阵A可逆的充要条件1）用矩阵的方式描述：存在矩阵B使得AB二E或BA二E（即定义）；2）用A的行列式凶来描述：
17、A
18、^0;3）用矩阵的秩来描述：厂（4）=斤这里〃是矩阵A的阶数；4）用向量的观点来描述：矩阵A的行向量组（或列向量组）线性无关；5）用方程组的观点来描述：方程组AX二0仅有0解；6）用矩阵A的特征值来描述：A的特征值全不0；（3）逆矩阵的性质1)若A有逆矩阵，则逆矩阵是唯一的;2)若A,B是同阶可逆矩阵,则AB也可逆,且（AB）-1=B-[A[:3)、T4)'A0<0B丿0、0B2.2逆矩阵的求法:①喘②⑺迥初等彳亍变换〉（圧川）
19、③bJ_1~d-bd_ad一be-ca1石~AB~T~ArC广CDB1D1~ai~-1-丄-•••■■丄•a2_an.丄A・-1_A_,'■A--1_A/,_⑤a2•V1•■■■■••■■■■■_4_・V1._A..・1an2.3矩阵方程的解法：设法化成仃）AX=B或仃］)XA=B当
20、a
21、ho吋,（I）的解法：构造SB）初和变换〉（£x）（当B为一列时，即为克莱姆法则）（II）的解法：将等式两边转置化^JAtXt=B用（1）的方法求出X7；再转置得X第三章行列式的性质行列式的计算转置伴随阵纯数字的四阶行列式计算2.1川阶行列式的5大性质质质质质1：转置（行与
22、列顺次互换）其值不变。2：互换任意两行（列）其值变号。3：任意某行（列）可提出公因子到行列式符号外。4：任意行列式可按某行（列）分解为两个行列式之和。性质5：把行列式某行（列）$倍后再加到另一行（列），其值不变。3.2行列式的计算:①若人与〃都是方阵（不必同阶），则*B~oA=a\b②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.*九Oa2n-•■—a2n-•■■anl°•anlo③关于副对角线:I=（一1）2仏3.3关于伴随矩阵3.3.1伴随矩阵的定义，强调伴随矩阵屮元素的构成规律；3.3.2伴随矩阵常用的性质对于任意的方阵A均有此伴随矩阵A二丄当
23、
24、A
25、=OW：AA"=A'A=0对于一般地方阵A,其伴随矩阵才的秩为:n若厂(A)=nr(A)=<1若r(A)=n- 若心)S—2当
26、A
27、H0时⑷二国"二当国=00寸
28、須=0o第四章求解含有非零参数的线性方程组的解3.1线性方程组解的性质1）如果％卩是齐次线性方程组加=°的两个解，则a+卩也是它的解。2）如果a是齐次线性方程组山的解，则koc也是它的解。3）如果有al,a2,…，as是人兀的解,则klal+k2a2+・・・+ksas也是它的解.ki为任意常数（i=l,2,…，s）。4）如果a,卩是非齐次线性方程组^=b的两个解，贝临-卩是导出组山的解。5）如果
29、a是山=0的解，卩是^=h的解，贝妆+卩是似"的解。6）如果儿必，…亿是Ar=b的解，也，…人为常数，且心+他+・讥=1,则3+5+…3$也是Ax=b的解。3.2线性方程组解的判定定理2.2.1非齐次线性方程组=b1）若秩⑷工秩（入）,则山"无解。则有唯一解，2）若秩（人）=秩（A）［＜仏则有无穷多解。具体做法：设^=b的增广矩阵记为万，则只经过初等行变换可化为如下的阶梯形矩阵（需要交换列时可重新排列未知量的顺序）:于是可知:(1)当dr+l=O,且r二n时，原方程组有唯一解。(2)当dr+l=O,且玫n时，原方程组有无穷多解。(3)当dr+lHO,原方程组
30、无解。当方程组有解时，写出阶梯形矩阵对
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