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《一类广义Burgers方程的行波解-孤立子研究综述【文献综述】》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、毕业设计文献综述信息与计算科学一类广义Burgers方程的行波解-孤立子研究综述孤子是最早在自然界观察到,并且可以在实验室产生的非线性现象之一,从发现孤子到现在虽经历了一百多年,但是它的重大发展和在许多学科(例如光纤孤子通信，非线性光学中的空间光孤子,磁通量子起见,约瑟夫逊计算机,电荷密度波和自旋密度波,生物学中的达维多夫孤子,等离子体中的孤波等)中的应用开始于20世纪70年代.孤子的发现应追溯到1834年的夏日,英国科学家Russel骑马正沿着一条运河岸道旅行,偶然发现在狭窄的河床中行走的船突然停止前进，被船体带动的水团积聚在船头并剧烈地
2、翻动着.不久,一个圆形且轮廓分明的巨大孤立波峰开始形成,并急速离开船头向前运动.波长约10米,高约0.5米,在行进中波的形状和速度并无明显改变,以后高度逐渐下降.在跟踪二至三公里后,终于消失在蜿蜒的河道上.这次发现的奇特景观促使Russel开始广泛的水波实验研究.他认为这类波应是流体运动的一个稳定解,并称为孤波.但他始终未能从理论上证实孤波的存在.结果导致Russel向英国科学院提交的报告引起当时物理学界的激烈争论.直到1895年,荷兰著名科学家Korteweg和他的学生deVries在对孤波进行全面分析后指出这种可近似为小振幅的长波,并以
3、此建立了浅水波运动方程.,,(1),其中为波面高度,h为深度,G为重力加速度,是水的密度,是与水的匀速流动有关的小常数,T是水的表面张力.此后Korteweg和deVries利用行波法求出与Russel描述一致的孤波解,争论才告终止.如果作变换3.(2)则方程(1)可写成标准的形式,(3)后人为了纪念这两位伟大的学者对孤波做出的贡献将(1)或(3)称为KdV方程.时间跨越了70年,转眼之间来到了1965年,美国科学家Kruskal和Zabusky利用先进的计算机通过数值计算详细研究了KdV方程两波互相作用的全过程.他们对作用后所得的数据进行
4、对比,发现孤波的形状和速度保持不变而具有弹性散色的性质,所以Kruskal和Zabusky又将这种稳定的孤波成为孤子.从此一个研究非线性发展方程与孤子的热潮在学术蓬勃地开展起来.随着研究的深入,大批具有孤子解的非线性波动方程在物理的各领域不断被揭示出,其中包括等离子中的非线性Schrodinger方程、振子运动的Toda链与二维流体流动的KP方程等.研究的结果表明,这些方程具有共同的性质.例如它都存在Lax对于无穷守恒律,都存在等谱流于非等谱流,且相关的等谱流方程族构成无穷维Hamiton系统等.此外在这一时期求解技术也取得长足的发展,除反
5、散色变换外还产生出Hirota双线性导数方法,Backlund变换与Wronskian技术.现在孤子已经形成了自己独特的理论和研究方法,并且在自然科学的各领域中寻觅到它应用的踪迹.孤子不仅是非线性偏微分方程的一类特殊解,而且还代表某种具体的物理过程.存在非线性是产生孤子的必要条件,而要维持孤子波形稳定不变,则需要同时存在别的物理效应.非线性和这些物理效应共同作用的结果,使得孤子能够产生并维持波形稳定不变.例如光纤中的时间光孤子,同时存在非线性效应和色散.色散使波形展宽,非线性效应使波形变窄.在一定条件下两种效应达到平衡,维持波形稳定.而对于
6、光折变介质中的空间光孤子,则是存在非线性效应和衍射.孤子解是非线性偏微分方程的一类特殊解.一个非线性偏微分方程代表某种物理过程,孤子解也具有确定的物理意义.KdV方程,非线性薛定谔,sine-Gordon方程等具有孤子解.从数学的观点看,具有下列两性质的特殊解称为孤子解:(1)能量有限,且分布在有限的空间范围内;(2)弹性碰撞(即在碰撞后能恢复到原来的波形和速度).3但是,从物理学的观点看,一般认为,具有性质(1)的特殊解就可以称为孤子.以粒子物理学中的孤子问题来说明这一点是最清楚的.在粒子物理学中,将孤子看成是量子场的激发态,微观系统中的
7、能量状态是分立的,人们所关注的是碰撞前后处于什么量子态,而不是波形是否改变,又例如在单模光纤中的亮孤子,其中高阶孤子的波形在传播过程中会产生周期性的变化,对于这些波形在穿传输过程中有明显变化的孤子,在物理学上任然称为孤子.所以一般的只具有性质(1)的就可以称为孤子.研究一类广义的Burgers方程有很多种方法,例如:迭代法、微扰法、直接积分法和椭圆函数法等.Burgers方程可描述许多物理现象,如黏性介质中的声波,具有导电的磁波流,充满流体的黏弹性管中的波等,其一般形式为,其中为耗散系数.本文是用直接积分法求解一类广义Burgers方程的行
8、波解.在现代科学中,广义的Burgers方程模式是一个重要的和普遍的非线性模式,Burgers方程是非线性耗散方程,它在等离子体物理,非线性光学,量子场论和通信技术等领域有着重要
