一类广义Camassa-Holm型方程的尖峰孤立波和尖峰孤立波解-论文.pdf

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1、第27卷第3期，2014年7月宁波大学学报(理工版)首届中国高校优秀科技期刊奖Vo1．27No．3，July2014JOURNALOFN1NGBOUNIVERSITY(NSEE)浙江省优秀科技期刊一等奖一类广义Camassa—Holm型方程的尖峰孤立波和尖峰孤立波解刘松林，沃维丰(宁波大学理学院，浙江宁波315211)摘要：提出了包含Camassa—Holm方程、修正的Camassa．Holm方程和Degasperis—Procesi方程的一类非线性色散波方程，并利用一类算子的格林函数结合方程的弱形式解，得到了这类方程的单个尖峰孤立波解．关键词：C

2、amassa．Holm方程；修正的Camassa—Holm方程；Degasperis—Procesi方程；尖峰孤立波解中图分类号：029文献标志码：A文章编号：10015132(2014)03—0069—05笔者主要研究如下的非线}生演化方程：mf+3mu+um=0，m=u—uH，m+((“一U2)，卯)+a(mu)+b(um)=0，它是由Degaspepris和Procesi[提出，关于DP方程m=u—Uxx,t>0，X∈S(1)的几何性质、可积性、局部和整体解的存在唯一性、的尖峰孤立波解的存在性，其中k≠O，a，b为常数．弱解的存在唯一性、解的

3、爆破和波的破却、尖峰孤方程(1)是著名的Camassa-Holm(CH)方程，修正的子解的存在性和稳定性等在文献[10—121中已被广CH方程和Degasperis—Procesi(DP)方程的一个混合泛研究．方程．当a：2b时，方程(1)变成了如下的广义CH型当k=0，a=2，b=1时，方程(1)变成CH方程：方程：mf+2mu+um=0，m=u—u，mf+((“一“2))+b(2mu+um)=0，该方程是由Camassa和Holm[¨作为一种潜水波模，竹U—Uxx·型提出．其实在更早时期，CH方程被Fokas和最近这个方程的尖峰孤子解、周期尖峰

4、孤子解Fuchssteine用KdV方程的递归算子l生质得到，他及其尖峰的存在性等问题已被研究．笔者研究了们的结果证明了CH方程的可积性．关于CH方程方程(1)的单个尖峰孤立波解．的几何性质、可积性、局部和整体的存在唯一性、1预备知识弱解的存在唯一陛、尖峰孤子解的存在性和稳定性等已有大量的研究成果【2】．本文讨论方程(1)的如下初值问题：当k=l，a=O，b=0时，方程(1)变成修正的CHm+七((“一“2)，)+a(mu)+b(um)=0，方程：t>0，∈X，mf+((“一Ux2)，)=0，m=u—u，u(0，)=u0()，m=u—Uxx,∈X．

5、(2)该方程的可积性、对称性、适定性、尖峰孤子解的将m代入方程(1)，并用算子(1一)作用到存在性及其稳定性在文献[6．8]中已有深入讨论，所得方程，有：结果表明修正的CH方程不仅具有和CH方程类似“+尼[(“一1／3“)+(1—0x2)一(2／3u+的性质，还具有和CH方程不同的性质．2)+(1一)(1／3zf3)]+b(uu)+当k=0，a=3，b=l时，方程(1)变成DP方程：(3b一口)(1一ax2)(甜+1／2“)+收稿日期：2013—12—10．宁波大学学报(理工版)网址：http：／／journallg．nbu．edu．cn／基金项目

6、：国家自然科学基金(11201249)．第一作者：刘松林(1986一)，男，河南商丘人，在读硕士研究生，主要研究方向：偏微分方程及其应用．E-mail：liusonglin1015@126tom·通信作者：沃维丰(1981一)，女，浙江宁波人，博士／讲师，主要研究方向：偏微分方程及其应用．E-mail：woweifeng@nbu，edu．cn70宁波大学学报(理工版)2014(a一2b)(1一a)(3／2“)：0．由u(t，)=Ae。，得剑：利用算子(1一Ox2)的格林函数P(x)可以表示Ux-A(一sign(x—ct)一26(x—ct)(x—ct

7、))e一。一=“为：-(sign(x—ct)+25(x—ct)(x—ct))u．=(1—8x2)一m：尸()m，Ut=一c(一sign(x—ct)一25(x—c)(—ct))e一一酬=其中在非周期情形，P(x)=1／2P而在周期情形c(sign(x—ct)+26(x—ct)(x—ct))u，P()：cosh(1／2一)／(2sinh(1／2))，：Ic表示上2由定义可得g()()=g(o)．个函数的卷积，定义为：利用分部积分法和弱解的定义(1)得出：(厂g)()=I、，f(y)g(x—)dy．：[+k(1／3u3谚+1／3U~3~)]dxdt+利用

8、上面的表述，柯西问题(2)的弱解可如下定义．fUo(O，(0，)=定义1(弱解)给定初值()∈W。，函数一+(2—1／3u