CH-γ方程的新的孤立尖波解-论文.pdf

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1、第201123卷年第124月期淮阴师范学院学报(自然科学版)Vl01．12No．4Dec．2013JOURNALOFHUAIYINTEACHERSCOLLEGE(NATURALSCIENCEEDITION)CH一7方程的新的孤立尖波解王丽芳(镇江高等专科学校数学教研室，江苏镇江212003)摘要：通过选取CH．y方程中色散参数a和作为分支参数，基于平面动力系统的分支理论，利用相平面上特定的轨道，给出了该方程的一个新的孤立尖波解的解析表达式，证明了光滑孤立波和周期尖波解对孤立尖波解的收敛性质．关键词：CH．7方程；孤立尖波

2、解；分支相图中图分类号：O175．2文献标识码：A文章编号：1671．6876(2013)o4．0287．06O引言1993年，Camassa和Holm_1考虑重力作用下，浅水层自由表面的水波运动，利用Hamilton原理导出了一类新型的浅水波模型t+2ku一Uxxt+3“=2u螂+螂≈，该方程简称为CH方程．他们发现该方程当k=0时有形如：“(，t)=cexp(一l—ctI)，的孤立波解．这种形式的孤立波解因在波峰处一阶导数不连续，又被称为孤立尖波解．且他们预言当k≠0时不存在孤立尖波解．但Liu和Qian_2。基于动

3、力系统分支方法，给出了该方程当k≠0时的孤立尖波解M()：exp(一l一kt1)一．Liu给出了该方程的另一个孤立尖波解(，t)=(k+C)exp(一I—ct)一k．迄今为止，已有许多学者应用各种方法研究了CH方程及CH方程的一些广义形式]．最近，Dullin和Holm等6圳提出了如下广义CH方程m￡+C0／．t+um+2mu=一yu，其中m=U—ClU(a≠0)，该方程又被称为CH—y方程．显然此方程可重写为“‘+Co+3uu一口(U埘+u+2uU搿)=一yu(1)且当Ot=1，C。=2k，)，：0时，方程(1)退化为

4、CH方程．利用相平面分析方法，Guo和Liu_8通过3种不同的途径获得了方程(1)的孤立尖波的解析表达式／．Z(，t)=(c+7／a)exp(一f—ctf／faf)，和“(，t)=(C+7／a)[3exp(一I—ctI／la1)一2]．Tang和Yang，Zhang等n叫考虑积分常数的影响，进一步扩展了方程(1)的孤立尖波解．正如Guo和Liu所说CH．)，方程比CH方程多两个参数，导致CH．y方程包含的数字信息更复杂．本文将通过选取方程(1)中的a和7作为分岔参数，并考虑参数C对行波解的影响，给出方程(1)收稿日期：2

5、013-09．16作者简介：王丽芳(1968一)，女，江苏无锡人，讲师，硕士，主要从事微分动力系统的研究288淮阴师范学院学报(自然科学版)第12卷一个新的孤立尖波解的表达式，并证明光滑孤立波和周期尖波解对孤立尖波解的收敛性质1分支分析令=—ct并将(，t)=u()代人方程(1)，可得如下常微分方程一c{5+C。+344一a(+2一c)=一7(2)对方程(2)关于积分一次并忽略积分常数得2^(ca+y—a2)一(+丢声+(c。一c)=0(3)令Y=，可将(3)转化为3声+(c。一c)一yddv(4)d一’d一122乒一∞

6、一y系统(4)存在奇直线=c+，a给分析带来不便，为此引入变换d：(a一c12一y)dr，在此变换下，系统(4)变为如下平面Hamilton系统(一2一，dy==吾+(c0一洲一专2y(5)易于看出系统(4)和(5)具有相同的首次积分H(声，Y)=(口j5一ca一y)Y一j5+(c—c0)9I=h(6)其中h为常数．从以上推导可以看出，系统(4)和(5)除奇直线=c+{外具有相同的拓扑相图．鉴于相图分支关于c=c。的对称性，这里仅需考虑C>c。的情形．对于某一固定的h，式(6)确定了系统(5)的一族不变曲线；当h变动时，

7、式(6)确定了系统(5)具有不同动力学性质的轨道族．令M(，Ye)表示系统(5)的线性化系统在平衡点(声，Ye)处的系数矩阵，即2Yea=。蔓)，且在此平衡点处有P(j5，Y)=trace(M(≯，Y))=0，．，(，Y)=det(M(，Y))=一(Ye)一(口一ca一7)(3+co—c)，由平面动力系统理论知，对于平衡点(，Y)，若J(，)<0，则(jl，Y)是鞍点；若J(，Y)>0且P(，Y)=0，则(，Y)是中心；若J(，Y)>0且P一4J>0，则(，)是结点；若J(95，Y)=0且其Poincar6指标为0，则(

8、，Y)是尖点．基于上述事实作定性分析，得(a，7)参数平面上的四条分支曲线：￡：7(a)：一c。a；2：y2(口)：一半口，L3：y3(a)：一c口；L4：y(a)：一a，注意当c>C。时，四条分支曲线满足不等式7(a)>y(a)>)，，(a)>)，(a)．基于以上讨论并利用向量场的分支理论，可得到如下描述系统(5)