Sawada-Kotera方程的两类尖孤立波解-论文.pdf

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1、第35卷第2期河南科技大学学报：自然科学版Vo1_35No．22014年4月JournalofHenanUniversityofScienceandTechnology：NaturalScienceApr．2014文章编号：1672—6871(2014)02—0078—04Sawada-Kotera方程的两类尖孤立波解李向正(河南科技大学数学与统计学院，河南洛阳471023)摘要：用(G／G)展开法构造出了SK方程的两类尖孤波解。这两类孤波解都有尖峰或倒尖峰，且满足Rankine—Hugoniot条件和熵条件，是方程的弱解。关键词：Sawada—Kotera方程；尖孤

2、波解；Rankine-Hugoniot条件；(G／G)展开法；弱解中图分类号：0175．2文献标志码：A0引言研究数学物理方程的中心内容是求各类问题的解并研究解的性质，使人们对其所描述的自然现象或过程能有更深入的认识。间断性(或奇异性)在自然现象中广泛存在，如流体动力学中的溃坝，空气动力学中的激波，广义相对论中的黑洞等⋯。非线性发展方程是近年来数学物理工作者研究的热点，其弱解一般具有间断性(或奇异性)，对于特定的自然现象，用弱解来描述或刻画更符合实际。弱解的存在性可用算子分解方法证明，也可用位势井理论和紧致性方法证明。根据压缩映像原理用伽罗金逼近法可证明弱解的存在性和

3、唯一性。已有的文献较多地集中于弱解的存在性或唯一性的证明，但弱解的解法或构造方法很少见文献报道。本文研究Sawada—Kotera方程(SK方程)。。f+5uU+5u+5uu3+5=0(1)的尖孤立波解。SK方程可用于共形场理论，二维量子引力规范场理论和非线性科学中的Liouville方程的守恒流。文献[6]用双曲正切函数展开法得到了sK方程的一些精确解。sK方程的Hamihonian结构，Lax对，Backlund变换已被研究过。文献[9]借助计算机代数系统获得了sK方程的孤波解和振荡孤波解。文献[10]利用SK方程的Backlund变换，从一个已知解出发得到方程的

4、一些精确解。文献[11]应用改进的F展开法获得了SK方程的孤波解和三角函数解。文献[12]用指数函数法获得了SK方程广义孤立波解和周期解。但文献[6—12]均未考虑SK方程的尖孤立波解及其构造方法，因而本文主要解决这一问题。1SK方程的尖孤立波解方程(1)可写成守恒律形式OUa+掣a：0，(2)其中，厂(M)=÷M+5uu+“4。方程(1)的尖孤立波解满足的边界条件为：一0，_+0，U_÷0，u4一0，当II_∞时。(3)记M=M((t)±0，t)，厂=U)，表示／．Z(，t)在间断线两侧的左右极限。定理1除间断线外，满足守恒律方程(2)的行波解u(x，)=u(II)

5、，=—ct—。，(c，。为常基金项目：国家自然科学基金项目(10871129)；河南科技大学科研创新能力培育基金项目(2010CZ0016)；河南科技大学博士启动基金项目(09001562)作者简介：李向正(1972一)，男，河南偃师人，副教授，博士，主要研究方向为非线性数学物理方程．收稿日期：2013—09—25第2期李向正：Sawada—Kotera方程的两类尖孤立波解·79·数)，当U=u一时，在方程(2)的间断曲线=一(t)=0(即(t)=ct+。)上满足Rankine—Hugoniot条件，即o-(t)=L士。证明利用洛比达法则及方程(2)可得：——————

6、————一=⋯=一=⋯⋯—=，rIrI。U一1,U—UM—U一“，下面用(G／G)展开法¨求解方程(1)。设方程(1)的行波解为：U(，t)=U()，=—ct—o，(4)其中，常数c表示波速；为常数。将式(4)代人方程(1)，而后关于积分一次，根据边界条件(3)，可设积分常数为零，得一c“+÷。+5UlX”+‘=0。(5)此处，要求方程(1)的弱解U(，t)=U()满足对称性条件U(一)=M()，∈(一∞，+)。(6)考虑方程(5)中“，“和“的齐次平衡，3m=2m+2=m+4，得平衡数m=2，于是设方程(5)的解可表示为：=00+a2(G／G)，a2≠0，(7)其中

7、，a。、a为待定常数；G=G()满足二阶线性常微分方程’G”()+卢G()：0，(8)其中，届为待定常数。特别地当<0时，G／G=一]3tanh(√一卢+。)，(9)或G／G=一Bcoth(一卢+)，(10)其中，。、亭为常数。将式(7)代人方程(5)的左端并利用方程(8)，则方程(5)的左端化为(G／G)的多项式，置多项式的系数为零，得到关于rz。、。：、卢和c的代数方程组，利用Mathematica(符号运算软件)，解得该方程组的3组解，它们是：(I)a0>0，n：=一6，JB=一詈，c=4。。2；50(11一)a(Ⅱ)a。>。，。：=一6，卢=