第三章矩阵的秩与线性方程组

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1、第一节矩阵的秩Ch3矩阵的秩与线性方程组一、矩阵秩的概念例1解例2解取自非零行首非零元所在列例3解计算A的3阶子式，另解显然，非零行的行数为2，此方法简单！二、矩阵秩的计算问题：经过初等变换后，矩阵的秩变吗？证明略初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例4解(1)由阶梯形矩阵有三个非零行可知例5解分析：三、小结(2)初等变换法1.矩阵秩的概念2.求矩阵秩的方法(1)利用定义(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行

2、数就是矩阵的秩).(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);思考题1思考题1解答思考题2(2)设A为可逆阵,且r(A)=3,则r(AB)-r(B)=-------。0思考题2解答答相等.即由此可知,俩方程组第二节齐次线性方程组Ch3矩阵的秩与线性方程组一、齐次线性方程组有解的判定条件问题：引例求解齐次线性方程组解①②③②-①2，③-①，得①④⑤①④⑤⑤-④，④得①⑥说明第3个方程是多余的！说明什么问题？①⑥得，行最简形矩阵①⑥即得与原方程组同解的方程组移项即得证必要性.(),,nDnAnAr阶非零子式中应

3、有一个则在若=(),根据克拉默定理个方程只有零解所对应的nDn从而定理1这与原方程组有非零解相矛盾，().nAr<即充分性.(),nrAr<=设.个自由未知量从而知其有rn-任取一个自由未知量为１，其余自由未知量为０，即可得方程组的一个非零解.为求齐次线性方程组的解，只需将系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解。二、线性方程组的解法例1求解齐次方程组的通解解对系数矩阵A进行初等变换故方程组有非零解，且有为什么选为非自由未知量？选行最简形矩阵中非零行首非零元1所在列！得方程组的通解为例2设有齐次线性

4、方程组解且其通解为且其通解为代入讨论同前。另解因为系数矩阵为含参数的方阵，故可考虑使用“行列式”法，对齐次线性方程组三、小结解法一因为系数矩阵为含参数的方阵，故可考虑使用“行列式”法，而当a取何值时，下述齐次线性方程组有非零解，并且求出它的通解．思考题通解为解法二用“初等行变换”（法）把系数矩阵化为阶梯形第三节非齐次线性方程组Ch3矩阵的秩与线性方程组一、非齐次线性方程组有解的判定条件问题：证必要性．,有解(反证法)设方程组bAx=这与方程组有解相矛盾.定理1()(),rAr<设则的行最简形矩阵中

5、最后一个非零行对应矛盾方程０＝１，并令个自由未知量任意取值，rn-即可得方程组的一个解．充分性.证毕其余个作为自由未知量,把这行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由未知量,例1求解非齐次线性方程组解对增广矩阵进行初等变换，定理1‘故方程组无解．此乃第三章的精华所在为求解非齐次线性方程组，只需将增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解．若有解，再将行阶梯形矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解。二、线性方程组的解法例2求解非齐次方程组的通解解对增广矩阵进行初等变换所以方程组的通解为例3证方程组的增

6、广矩阵为对增广矩阵进行初等变换，由于原方程组等价于方程组由此得通解：例4设有线性方程组解一且其通解为这时又分两种情形：解二：当对非齐次线性方程组三、小结思考题思考题解答思考题设有线性方程组思考题解答