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《第七讲-矩阵的秩-线性方程组的解.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、课前复习1.初等行(列)变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．2.初等变换3.行阶梯形矩阵，行最简形矩阵，标准形矩阵4.若A可逆，则A与单位阵E等价1.单位矩阵初等矩阵.一次初等变换2.初等矩阵的结论:推论3.初等变换的应用:（3）求XA=B（1）求A-1（2）求AX=B第二节矩阵的秩一.矩阵秩的概念二.矩阵秩的求解一、矩阵秩的概念矩阵的秩如：矩阵取第1行、第3行和第1列、第4列交叉处的元素，二阶子式是组成的的最高阶子式是3阶，共有4个3阶子式.易见最低阶为阶，最高阶为阶.注:显然,中不等于零的子式的最矩阵的秩是高阶数.矩阵的
2、秩具有下列性质:(1)若矩阵中有某个阶子式不为0,则(2)若中所有阶子式全为0,则(3)若为矩阵,则(4)例1求矩阵解在中,又的3阶子式只有一个且的秩.例2解问题：经过变换矩阵的秩变吗？二、矩阵秩的求法初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例4解由阶梯形矩阵有三个非零行可知则这个子式便是的一个最高阶非零子式.故A中必有3阶非零子式，计算A的前三行构成的子式例设为阶非奇异矩阵,为矩阵.试证:与之积的秩等于的秩,即证因为非奇异,故可表示成若干初等矩阵之积,皆为初等矩阵.即是经次初
3、等行变换后得出的.因而证毕.注:由矩阵的秩及满秩矩阵的定义,显然,若一个阶矩阵是满秩的,则因而非奇异;反之亦然.三、小结(2)初等变换法1.矩阵秩的概念2.求矩阵秩的方法(1)利用定义(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);定理等价矩阵的秩相等结论矩阵的秩最高阶非零子式的阶数行阶梯形矩阵非零行的行数行最简形矩阵非零行的行数标准形矩阵中单位矩阵的阶数主要内容线性方程组解的存在性线性方程组的解法第三节线性方程组的解解向量线性方程组A称为系数矩阵，B=（A,b）称为增
4、广矩阵同解方程组为同解方程组为线性方程组的解有下列三种情况：无解有无穷解有惟一解同解方程组为同解方程组为求解线性方程组的步骤：写出增广矩阵，对于齐次线性方程组写出系数矩阵用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵根据增广矩阵与系数矩阵秩的关系判断是否有解如果有解，进一步化为行最简形矩阵行最简形矩阵首非零元素1对应的未知量为非自由未知量，其余未知量为自由未知量令自由未知量为c,从而得到方程组的通解（一般解）例1求解齐次线性方程组解即得与原方程组同解的方程组由此即得例２求解非齐次线性方程组解对增广矩阵B进行初等变换，故方程组无解．例３求解非齐次方程组
5、的通解解对增广矩阵B进行初等变换故方程组有解，且有得方程组的通解为例５设有线性方程组解其通解为这时又分两种情形：例6设有线性方程组问取何值时，此方程组（1）有唯一解;（2）无解;（3）有无限多个解？并在有无限多个解时求其通解.三、小结求解线性方程组的步骤：写出增广矩阵，对于齐次线性方程组写出系数矩阵用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵根据增广矩阵与系数矩阵秩的关系判断是否有解如果有解，进一步化为行最简形矩阵行最简形矩阵首非零元素1对应的未知量为非自由未知量，其余未知量为自由未知量令自由未知量为c,从而得到方程组的通解（一般解）作业习题三10
6、.（1）14.（3）本节习题要求：习题三基础题目：7,8,10,13,14提高题目：11,12,16,17兴趣题目：9,15,18,19,20,21
