线性代数课件-3.4矩阵的秩 3.5线性方程组解.ppt

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1、上堂课主要内容：定义3·12矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩，列向量组的秩称为A的列秩。定义3·13矩阵A的行秩和列秩统称为矩阵A的秩§3·4矩阵的秩,记为r(A)性质：初等行（列）变换不改变矩阵列（行）向量间的线性关系。定理3·12矩阵的行秩与列秩相等。初等变换不改变矩阵的秩定理3·11定理3·10初等行变不改变A的行秩初等列变不改变A的列秩初等行变换不改变A的列秩初等列变换不改变A的行秩主要计算题型：步骤一：步骤二：步骤三：步骤四：方法一：方法二：，求r(A)3、求r(A)用初等变换求出A的最简型则r(A)=r=r(A)定义3·14在矩阵A=(aij)m×n中，任

2、取k行、k列[k≤min(m,n)]，位于这些行和列交叉点处的k2个元素按原顺序所构成的k阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子式。例如：取A的第1、2、3行，1、3、4列，可得A的一个3阶子式取A的第1、3行，3、4列，可得A的一个2阶子式定理3·13设A是m×n矩阵，则A的秩等于r的充要条件是：矩阵A中至少有一个r阶子式不为零，且所有的r+1阶子式都为零。A中所有的r+1及大于r+1阶子式都为零如对r+2阶子式，利用行列式的展开定理，可化为r+2个r+1阶余子式，即r+2个r+1阶子式来计算说明：所有的r+1阶子式都为零证明：必要性已知r(A)=r，设是的一个极大无关组先证

3、至少有一个r阶子式不为零因为设是的一个极大无关组是r个r维的线性无关的向量≠0A的r阶子式再证A中所有的r+1阶子式都为零：反证：若不然，存在一个r+1阶子式。设A1是由A中第j1、j2、…、jr+1行和i1、i2、…、ir+1列所构成的r+1阶子式即≠0A的列秩=≥r+1矛盾r(A)=在A的列向量组A中所有的r+1及大于r+1阶子式都为零如对r+2阶子式，利用行列式的展开定理，可化为r+2个r+1阶余子式，即r+2个r+1阶子式来计算定理3·13设A是m×n矩阵，则A的秩等于r的充要条件是：矩阵A中至少有一个r阶子式不为零，且所有的r+1阶子式都为零。必要性已知r(A)

4、=r，则至少有一个r阶子式不为零且所有的r+1阶子式都为零充分性已知矩阵A中至少有一个r阶子式不为零，且所有的r+1阶子式都为零，设r(A)=sA中至少有一个s阶子式不为零由必要性知，故r(A)=r若s>r若srA中有一个≥r+1阶子式不为零A中所有≥s+1阶子式不为零由于s

5、式其中即是A的n-1阶子式由于r(A)=n-2，A的所有n-1阶子式全为零所以，线性方程组要解决三个问题：1、如何求线性方程组的解?2、如何判断一个线性方程组有没有解，在有解的情况下，有多少解？3、当解不止一个时，解与解之间是什么关系?√§3·5线性方程组解的一般理论对m×n线性方程组得（*）的向量表达式（*）取一、线性方程组解的判定：取系数矩阵增广矩阵结论1：线性方程组（*）有解的充要条件是（*）结论2：≌≌因此结论3：≌证明：则要证≌必要性的充要条件≌设充分性≌≌≌结论3：≌的充要条件归纳：则1、线性方程组（*）有解可由线性表示对线性方程组≌≌定理3·14线性方程组有

6、解的充要条件是其中系数矩阵增广矩阵线性方程组无解的充要条件是：P124倒数第3行【例1】判断方程组是否有解？要判断？解：行变换故该方程组无解（）A【例2】讨论k取何值时，方程组有解，无解。在有解的情况下，唯一解？无穷多解解：则（1）当k≠0且k≠1时，即有解且由Cramer法则知，有唯一解，r(A)=3，（2）当k=0时，行变换此时方程组无解（3）当k=1时，行变换此时方程组解且由消元法知，同解方程为取得无穷多解由例3看到：当，即有解时，无穷多解唯一解定理3·15若方程组（3·1）有解，当r(A)=r=n时，方程组有唯一解。当r(A)=r

7、对齐次线性方程组因为增广矩阵即，方程组一定有解。设有无穷多解仅有零解，则反之，若有无穷多解，则有r