线性代数 教学课件 ppt 作者 张德全PPT课件 3.4线性方程组的解.ppt

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1、3.4线性方程组的解一线性方程组的矩阵表示二用消元法求线性方程组的解用矩阵的初等行变换法求解线性方程组三三齐次与非齐次线性方程组线性方程组的解向量三本节将解决一般线性方程组的解的问题。所谓的一般线性方程组是指其中，n表示未知量个数，m表示方程个数，表示表示第i个方程的常第i个方程第j个未知量的系数，常数项。一般情况下，（Ⅰ）称为n元线性方程组。【注】对于一般线性方程组，其方程个数与未知量个数是没有特别限制的。§1．4介绍了克莱姆法则，克莱姆法则提供了方程组求解的一种好方法，解的表达形式简洁明了。但它有局限性，它必须在“方程个数与未知量个数

2、相同，并且系数行列式不等于零”的前提下才可使用，不仅如此，对高元（未知量个数较多）线性方程组来说，其计算量是大得难以想象的，从解决问题的方法来说，克莱姆法则又是一种不实用的方法。这样一来，这就迫使我们要去寻求别的方法，以解决克莱姆法则不能解决的问题。对于线性方程组（Ⅰ）来说，需要解决的有以下几个问题：（1）什么情况下，线性方程组（Ⅰ）有解？（解的存在性判别问题）（2）如果线性方程组（Ⅰ）有解，其解是否唯一？（解的唯一性问题）（3）如果线性方程组（Ⅰ）有解，并且解不唯一，那么，解与解之间有什么关系？（解的结构问题）一、线性方程组的矩阵表示设

3、；；则称A为线性方程组（Ⅰ）的系数矩阵，并且线性方程组（Ⅰ）可表示成：（I′）令，则称为线性方程组（Ⅰ）的增广矩阵。例如，的系数矩阵为：，其矩阵表示式为：，它的增广矩阵为：【注】线性方程组的表示方法有三种：（1）初等表示法。如（Ⅰ）式。（2）矩阵表示法。（3）向量表示法。其中，.二、用消元法求线性方程组的解线性方程组的初等变换下列三种变换（1）交换线性方程组（Ⅰ）两个方程的位置；（2）线性方程组（Ⅰ）某个方程的两边同乘非零常数k；（3）线性方程组（Ⅰ）某个方程的两边同乘常数k后加到另一个方程上。称为线性方程组的初等变换。利用线性方程组的初

4、等变换求解线性方程组，可得线性方程组求解的基本方法——消元法。我们先看如下几个基本实例。例1讨论线性方程组的解是否存在。如果存在，求线性方程组的解。解因为；得；得所以，原方程组有解，并且有唯一一组解，即例2讨论线性方程组的解是否存在性，如果存在，求线性方程组的解。解仿照例1，可得进一步化为所以，原线性方程组有解，一般解为其中为自由未知量。这说明原线性方程组有无限多组解。多组解。形如（8）的方程组，称为阶梯形线性方程组。例3讨论线性方程组的解是否存在性，如果存在，求线性方程组的解。解仿照例1，可得由于式是一个矛盾式，因此，原线性方程组无解。

5、用消元法求解线性方程组的理论依据是：则（Ⅱ）与（Ⅰ）是同解线性方程组。定理1如果线性方程组（Ⅰ）经线性方程组的初等变换变成（Ⅱ）所谓同解线性方程组是指两个线性方程组有完全相同的解。定理2线性方程组（Ⅰ）可以经过一系列线性方程组的初等变换变成阶梯形线性方程组。所谓阶梯形线性方程组是指形如（Ⅲ）【注】方程组（Ⅲ）是标准形的阶梯形线性方程组，一般情况下，并没有这么整齐。例如，就是一个梯形线性方程组。定理3对于阶梯形线性方程组（Ⅲ），。则（Ⅲ）是矛盾线性方程组，方程。则方程组（Ⅲ）有解，并当时方程组（Ⅲ）有唯一一组解，当时方程组（Ⅲ）（1）如果组

6、（Ⅲ）无解；（2）如果有无穷多组解。在这种情况下，对（Ⅲ）用初等变换可把（Ⅲ）变成这样方程组（Ⅲ）的解可表示成（其中，，……，上述解称为方程组的一般解。为自由未知量。）（Ⅳ）【注】用消元法求线性方程组的解的一般步骤是（Ⅲ）（时）（2）讨论的情况，如果，则线性方程组（Ⅰ）（3）有解时写出一般解的表达式。（1）（Ⅰ）（Ⅳ）；无解；如果，则线性方程组（Ⅰ）有解；三、用矩阵的初等行变换法求解线性方程组如果仔细分析一下加减消元法的运算过程，实际参果把系数之外的符号隐去，重写一遍演算过程的话，有：与运算的全都是系数，这样，我们在实际计算当中，完全可以

7、隐去除系数以外的所有符号（这种方法又称分离系数法），由此产生了线性方程组求解的另一种方法——矩阵的初等变换法。我们回过头再看一看例1、例2和例3的求解过程，如例1=于是得到为原方程组的唯一解。解例2=解于是得到所以原方程组有解，并且有无穷多组解，其一般解为：（其中为自由未知量。）例3=于是得到这是一个矛盾方程组，所以原线性方程组无解。设有线性方程组（Ⅰ），是它的增广矩阵，A是矩阵A化为行最简上述的做法都是对线性方程组的增广矩阵实施行初等变换，化增广矩阵为阶梯形矩阵。这种方法与前面相比，明显简便多了。更一般地，有经过一系列初等系数矩阵，b是

8、常数项，当增广矩阵行变换化为行阶梯形矩阵，并且系数形矩阵时，即如果，则原线性方程组无解；，则原线性方程组有解，同时当时，解唯一，其解为：如果当时，有无穷多组解。其一般解为：上述讨论归纳如下：定