第7讲矩阵的秩.ppt

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1、第七讲矩阵的秩1、矩阵的k阶子阵：在矩阵A中任取k行k列，位于这些行与列相交处的元素按照原来相应位置构成的k阶阵，叫做A的k阶子阵m×n阶矩阵A中的k阶子式共有个。在m×n阶矩阵A中，任取k行与k列(k≤m，k≤n)，位于这些行列交叉点处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。2、矩阵的k阶子式：设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r＋1阶子式(如果存在的话)全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵的秩。记作R(A)。同时规定，零矩阵的秩等于0。3、矩阵的秩由行列式性质可知，在A中当所有r＋1

2、阶子式全等于零时，所有高于r＋1阶的子式也全等于零，因此A的秩R(A)就是A中不等于零的子式的最高阶数。由矩阵秩的定义可知，矩阵与它的转置矩阵的秩是相等的。定理1：若A～B，则R(A)=R(B)证：先证明：若A经过一次行的初等变换变为B，则R(A)≤R(B)设R(A)=r，且A的某个r阶子式Dr0.证明思路：1.证明矩阵A经过一次行初等变换变为B时，R（A）=R（B）；2.证明矩阵A经过有限次行初等变换变为B时，R（A）=R（B）；3.对列亦然；4.推出结论，在B中总能找到与Dr相对应的子式Br，由于Dr=Br或Dr=－Br或Br=kDr，因此Br≠0，从而R

3、(B)≥r。以上证明了A经过一次行初等变换变为B时，有R(A)≤R(B).由于B也可经过一次行初等变换变为A，那么同样有R(A)≥R(B).所以有R(A)＝R(B).经一次行初等变换矩阵的秩不变，即可知经有限次行的初等变换矩阵的秩也不变。设A经过列的初等变换变这B，那么，AT经过行的初等变换变为BT，由上面的讨论可知，R(AT)=R(BT)又因为，R(A)=R(AT)=R(BT)=R(B)所以，矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。上面的命题给出了求矩阵的秩的一种常用办法。即就是对待求秩的矩阵进行行的初等变换化为行阶梯矩阵，那么非零行的行数就是矩阵的秩。满秩阵:练习题:

4、求以下矩阵的秩：