第5章 方差分析

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1、第五章方差分析t检验法适用于样本平均数与总体平均数以及两个样本平均数间的差异显著性检验，但在生产和科学研究中经常会遇到比较多个处理优劣的问题，即需进行多个平均数间的差异显著性检验。下一张主页退出上一张多个样本平均数间的差异显著性检验，t检验法是不适宜的，原因有三：【例5-1】以淀粉为原料生产葡萄糖过程中，残留的许多糖蜜可用于酱色生产。生产酱色之前应尽可能彻底除杂，以保证酱色质量。今选用5中除杂方法，每种方法做4次试验，试验结果见表5-2，试分析不同除杂方法的除杂效果有无差异？除杂方法（Ai）除杂量（xij）合计（xi.）平均方差

2、Si2A125.624.425.025.9100.925.20.442A227.827.027.028.0109.827.50.277A327.027.727.525.9108.127.00.649A429.027.327.529.9113.728.41.543A520.621.222.021.285.021.30.330x..＝517.5表5-2不同除杂方法的除杂量g/kg例如，一试验包含5个处理，如采用t检验法进行检验，需作=10次两两平均数的差异显著性检验；若有k个处理，则要作k(k-1)/2次类似的检验。下一张主页退出上

3、一张1、检验过程烦琐2、无统一的试验误差，试验误差估计的精确性和检验的灵敏性低对同一试验的多个处理进行比较时，应该有一个统一的试验误差的估计值。若用t检验法作两两比较，由于每次比较需估计一个，故使得各次比较误差的估计不统一，同时没有充分利用资料所提供的信息而使误差估计的精确性降低，从而降低检验的灵敏性。例如，试验有5个处理，每个处理重复6次，共有30个观测值。进行t检验时，每次只能利用两个处理共12个观测值估计试验误差，误差自由度为2(6-1)=10；若利用整个试验的30个观测值估计试验误差，显然估计的精确性高，且误差自由度为5

4、(6-1)=25。可见，在用t检法进行检验时，由于估计误差的精确性低，误差自由度小，使检验的灵敏性降低，容易掩盖差异的显著性。下一张主页退出上一张3、推断的可靠性低，犯I型错误的概率增大即使利用资料所提供的全部信息估计了试验误差，若用t检验法进行多个处理平均数间的差异显著性检验，由于没有考虑相互比较的两个平均数的秩次问题，因而会增大犯I型错误的概率，降低推断的可靠性。所以，多个平均数的差异显著性检验不宜用t检验，须采用方差分析法。方差分析是将k个处理的观测值作为一个整体看待，把观测值总变异的偏差平方和及自由度分解为相应于不同变异

5、来源的偏差平方和及自由度，进而获得不同变异来源的总体方差估计值；由总体方差估计值构造F统计量，计算F值，检验各样本所属总体平均数是否相等。下一张主页退出上一张方差分析(analysisofvariance)是由英国统计学家R.A.Fisher于1923年提出的。方差分析实质上是关于观测值变异原因的数量分析。1方差分析的基本原理与步骤1.1线性模型与基本假定假设某单因素试验有k个处理，每个处理有n次重复，共有nk个观测值。试验资料的数据模式如表5-1所示。下一张主页退出上一张下一张主页退出上一张表5-1k个处理每个处理有n个观测值

6、的数据模式表中表示第i个处理的第j个观测值i=1,2,…,k；j=1,2,…,n）；下一张主页退出上一张表示第i个处理n个观测值之和；表示全部观测值的总和；表示第i个处理的平均数；表示全部观测值的总平均数；可以分解为：表示第i个处理n个观测值的总体平均数。（5-1）为了比较各处理的影响大小，将再进行分解，令（5-2）（5-3）则（5-4）其中μ表示所有试验观测值（nk个）总体的平均数；下一张主页退出上一张ai是第i个处理的效应（treatmenteffects）表示处理i对试验结果产生的影响。显然有（5-5）εij是试验误差，相

7、互独立，且服从正态分布N（0，σ2）。叫做单因素试验的线性模型（linearmodel）亦称数学模型。观察值xij表示为总平均数μ、处理效应αi、试验误差εij之和。下一张主页退出上一张由εij相互独立且服从正态分布N（0，σ2），可知各处理Ai（i=1，2，…，k）所属总体亦应具正态性，即服从正态分布N(μi，σ2)。尽管各总体的均数可以不等或相等，σ2则必须是相等的（外界试验条件尽可能保持一致，处理效应才可比）。所以，单因素试验的数学模型可归纳为：效应的可加性（additivity）、分布的正态性（normality）、方差

8、的同质性（homogeneity）。这是方差分析的前提条件或基本假定。下一张主页退出上一张若将表5-1中的观测值xij（i=1,2,…,k；j=1,2,…,n）的数据结构（模型）用样本符号来表示，则（5-6）与（5-4）式比较可知，分别是μ、（μi-μ）=、（x