第5章 方差分析

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1、第5章方差分析LCYSJR@126.COM第5章方差分析5.1方差分析的意义方差分析是数理统计的基本方法之一，是工农业生产和科学研究中分析数据的一种工具。方差分析的目的是确定观测对象的影响因子。如在化工生产或实验中，原料的组成、反应温度、压力、反应时间、反应器类型、催化剂配方等都可能影响产品的收率和质量。在这些因素中，有的影响大一些，有的影响小一些。为了使生产过程得以稳定，保证优质高产，确定最佳操作条件，就有必要找出对产品收率或质量有显著影响的那些因素，然后加以控制。方差分析就是鉴别各因素效应的一种有效方法。

2、5.2单因素试验的方差分析及其Excel程序5.2.1问题的提出例5-1考察温度对某一化工产品收率的影响，选了5种不同的温度，同一温度下做了3次试验，测得结果如表5-l。试问温度的变化是否显著影响产品的收率？这个实验的目的是确定各温度水平间产品的收率有无显著差异。从表5-1的数据中可以看出，不同温度下的收率是不同的，即使在同一温度下，收率也不一样。产生这些差异的原因是由于偶然因素的干扰及测量误差所造成的？还是由于实验条件的变化而影响的呢？换句话说，这些差异是试验误差(随机误差)还是条件误差(系统误差)呢？这个

3、问题可以通过方差分析的方法得出结论。表5-1例5-1的实验数据表60657075温度(℃)80909796848492939683收率(％)86889293888290949585平均收率845.2.2单因素试验的方差分析方法如果在一项实验中，只有一个因素在改变，而其他因素保持不变的话，我们称之为单因素试验。因素所处的状态称为水平。在例5-1中，考察的因素是温度，有5个温度等级，即5个水平。为不失一般性，设因素A有J个水平A1，A2，…Aj，…，AJ，在每个水平下都做了I次测试，水平Aj下第i次试验数据用x表

4、示。单因素多水平试验安排表i,j1第5章方差分析LCYSJR@126.COM如表5-2所示。表5-2单因素试验安排表因素水平A1A2…Aj…AJ试验次数1x11x12…x1j…x1J2x21x22…x2j…x2j……………ixi1xi2…xij…xiJ……………IxI1xI2…xIj…xIJ若把每一水平下的实验数据(表5-2的每一列)看做是一个子样的话，可得J个子样，设这J个子样相互独立，且它们来自的J个总体的方差都相同，即22222σ=σ=…=σ=…=σ=σ12jJ这叫做方差齐性。方差齐性的假设是方差分析的

5、前提。我们的任务是检验J个总体的均值是否相等，亦即假设H:μ=μ=…=μ=…=μ=μ012jJ检验这一假设是否成立。这就是单因素试验的方差分析所要解决的问题。那么如何确定检验的统计量呢？看下面的推导。JI2定义总变差或总平方和QT=∑∑(xij−x..)(5-1)j==11i其中x..叫做总平均值。整批数据的个数是因素水平的个数J与测定次数I的乘积，JI1令n=IJ，则有x..=∑∑xij(5.2)nj==11i总变差QT包括了试验误差和条件变差，若能将二者分开，然后加以比较，问题就好解决了。事实上是可以分开

6、的。记在水平Aj下的子样平均值，即表5-2中列数据的平均值I1x.j=∑xij(j=1,2,…，J)Ii=1(5.3)从式(5.1)出发进行推导JI2QT=∑∑(xij−x..)j==11iJI2=∑∑[(xij−x.j)+(x.j−x..)]j==11iJI22=∑∑[(xij−x.j)+(2xij−x.j)(x.j−x..)+(x.j−x..)]j==11i因交叉乘积项求和JI∑∑(xij−x.j)(x.j−x..)j==11i2第5章方差分析LCYSJR@126.COMJI=∑∑[(x.j−x..)(x

7、ij−x.j)]j==11iJI=∑∑[(x.j−x..)(xij−xI.j)]j==11iJ=∑[(x.j−x..)×]0=0j=1JIJI22所以QT=∑∑(xij−xj).+∑∑(x.j−x..)j==11ij==11iJI2若令QE=∑∑(xij−xj).(5.4)j==11iJI2QA=∑∑(x.j−x..)(5.5)j==11i于是可得Q=Q+Q(5.6)TEAQ反映了子样内的随机波动，即试验误差。亦称组内平均误差或误差平方和。EQ反映了子样之间的差异(由于因素水平不同而引起的差异)，即条件变差，

8、亦称A组间平方和。若判断因素A对实验结果的影响是否显著，就要判断条件变差与试验误差相差的程度，可用F检验来进行。令f=J−1(5.7)Af=n−J(5.8)E2S=Q/f(5.9)AAA2S=Q/f(5.10)EEE2SAF检验的统计量为F=(5.11)2SE可以证明，统计量F服从第一自由度f、第二自由度f的F分布。于是我们AE可以用下式来检验原假设H，即若022F=S/S>F(5.12)AEα(,