理论力学教学材料-10虚位移原理

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1、第十章虚位移原理1在静力学中，我们从静力学公理出发，通过力系的简化，得出刚体的平衡条件，用来研究刚体及刚体系统的平衡问题。在这一章里，我们将介绍普遍适用于研究任意质点系的平衡问题的一个原理，它从位移和功的概念出发，得出任意质点系的平衡条件。该原理叫做虚位移原理。它是研究平衡问题的最一般的原理，不仅如此，将它与达兰贝尔原理相结合，就可得到一个解答动力学问题的动力学普遍方程。动力学2§10-1基本概念动力学一、约束及约束方程约束：限制质点或质点系运动的条件。约束方程：表示约束的限制条件的数学方程。平面单摆例如：曲

2、柄连杆机构3动力学根据约束的形式和性质，可将约束划分为不同的类型，通常按如下分类：二、约束的分类1、几何约束和运动约束限制质点或质点系在空间几何位置的条件称为几何约束。如前述的平面单摆和曲柄连杆机构例子中的限制条件都是几何约束。不仅限制质点（系）的位置而且限制其速度，这种约束条件称为运动约束。例如：车轮沿直线轨道作纯滚动时。4动力学几何约束：运动约束：当约束条件与时间有关，并随时间变化时称为非定常约束。约束条件不随时间改变的约束为定常约束。前面的例子中约束条件皆不随时间变化，它们都是定常约束。2、定常约束和非

3、定常约束例如：重物M由一条穿过固定圆环的细绳系住。初始时摆长l0,匀速v拉动绳子。x2+y2=(l0-vt)2约束方程中显含时间t5动力学如果在约束方程中含有坐标对时间的导数（例如运动约束）而且不能经过积分运算消除，从而不能将约束方程积分为有限形式，这类约束称为非完整约束。一般地，非完整约束方程只能以微分形式表达。3、完整约束和非完整约束如果约束方程中不含有坐标对时间的导数，或者约束方程中虽含有坐标对时间的导数，但可以经过积分运算化为有限形式，则这类约束称为完整约束。6在两个相对的方向上同时对质点或质点系进行

4、运动限制的约束称为双面约束。只能限制质点或质点系单一方向运动的约束称为单面约束。动力学例如：车轮沿直线轨道作纯滚动，是微分方程，但经过积分可得到（常数），该约束仍为完整约束。4、单面约束和双面约束几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是几何约束。非完整约束一定是运动约束，但运动约束未必是非完整约束。刚杆x2+y2=l2绳x2+y2l27动力学双面约束的约束方程为等式，单面约束的约束方程为不等式。我们只讨论质点或质点系受定常、双面、完整约束的情况，其约束方程的一般形式为（s为质点系所受的约束数目，n为质点系的

5、质点个数）二、自由度和广义坐标1.自由度确定一个自由质点在空间的位置需要三个独立坐标（x，y，z），确定n个自由质点在空间的位置需要3n个独立坐标；确定一个自由质点在平面的位置需要两个独立坐标（x，y）（约束方程z=0）。8动力学确定质点系位置的独立坐标数约束方程4zA=0，zB=03除前述外，还有：（xB-xA）2+（yB-yA）2=l21除前述外，还有：xA2+yA2=a2(xB–c)2+yB2=b29动力学定义：确定一个受完整约束的质点系在空间的位置所需的独立坐标的数目，称为该质点系的自由度的数目，简称

6、为自由度，用k表示，则：由此可知：质点系受到约束，决定质点系位置的独立坐标就减少，每增加一个约束，就增加一个约束方程，独立坐标就减少一个。一般地，由n个质点组成的非自由质点系，受s个完整约束，其独立坐标数为k=3n-s。只要给定k个坐标，质点系的位置就可完全确定，其余s个坐标由约束方程决定。因此：对空间：k=3n-sn——质点数对平面：k=2n-ss——约束方程数10动力学2.广义坐标广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可以取线位移（x,y,z,s等）也可以取角位移（如,,,等）。在完整约束情况下，广义

7、坐标的数目=自由度数目。通常，n与s很大而k很小。为了确定质点系的位置，用适当选择的k个相互独立的参数，要比用3n个直角坐标和s个约束方程方便得多。①定义：确定质点系位置的独立参数，称为广义坐标。例如双锤摆用两个广义坐标、ψ表示。11动力学例如：曲柄连杆机构中，可取曲柄OA的转角为广义坐标，则：广义坐标选定后，质点系中每一质点的直角坐标都可表示为广义坐标的函数。②广义坐标函数12动力学例如：双锤摆。设只在铅直平面内摆动。两个自由度取广义坐标，13动力学一般地，设有由n个质点组成的质点系，具有k个自由度

8、，取q1、q2、……、qk为其广义坐标，质点系内各质点的坐标及矢径可表为广义坐标的函数。14动力学1.定义：质点或质点系为约束允许的任何的微小位移，称为质点或质点系的虚位移。虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符号表示虚位移。三、虚位移一般地，若质点可能有的运动轨迹是一曲线，则虚位移与轨迹相切。15动力学虚位移与真正运动时发生的实位移不同。①实位移是在一定的力作用下和给定的初条件下运动而