2.2.3 独立重复试验与二项分布课件 新人教A版选修2-3

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1、2．2.3独立重复试验与二项分布1．理解n次独立重复试验的模型，掌握二项分布，并能利用它们解决一些简单的实际问题．2．通过本节的学习，体会模型化思想，在解决问题中的作用，感受概率在生活中的应用，提高数学的应用能力．本节重点：独立重复试验与二项分布概念的理解．本节难点：二项分布的实际应用．1．在n次独立重复试验中，Ai是第i(i＝1、2、…、n)次试验中出现的事件，因为试验的条件相同，所以第n次试验出现的事件An不受前面n－1试验结果的影响．∴An与A1A2…An－1相互独立，∴P(A1A2…An－1An)＝P(A1A2…An－1)·P(An)，同理可得P(A1A2…An－1)＝P(A1

2、A2…An－2)·P(An－1)，…，P(A1A2)＝P(A1)·P(A2)．∴P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．2．两点分布是一种特殊的二项分布，即当n＝1时的二项分布．由于P(ξ＝k)刚好是[(1－p)＋p]n的展开式中的第k＋1项，与二项式定理展开式有关系，所以称ξ服从二项分布，简记为ξ～B(n，p)，它是离散型随机变量分布中一种相当重要和常见的概率分布．1．定义：一般地，在下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．2．在n次独立重复试验中，“在相同的条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的，即P(A1A2…An)＝．其中Ai(i＝1,2，…，n)是第i次

3、试验的结果．相同条件影响P(A1)P(A2)…P(An)3．定义：一般地，在中，设事件A发生的是X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝，其中k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称为成功概率．4．Cnkpk(1－p)n－k是[p＋(1－p)]n的二项展开式中的第项．n次独立重复试验CnkPk(1－p)n－kX～B(n，p)pk＋1次数[例1]某人射击5次，每次中靶的概率均为0.9，求他至少有2次中靶的概率．[分析]至少有2次中靶包括恰好有2次中靶，恰好有3次中靶，恰好有4次中靶和恰好有5次中靶四种

4、情况，这些事件是彼此互斥的，而每次射击中靶的概率均相等，并且相互之间没有影响，所以每次射击又是相互独立事件，因而射击5次是进行5次独立重复试验．[点评]①运用独立重复试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等；然后用相关公式求概率．②解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式．将一枚均匀硬币随机掷100次，求正好出现50次正面的概率．[分析]此题是最简单的试验，每次只有正反两种可能，各次掷出

5、的结果互不影响，故可采用独立重复试验来研究．[例2]一位病人服用某药品被治愈的概率为90%，求服用这种药的10位患有同样疾病的病人中至少有7人被治愈的概率．[分析]至少有7人被治愈可看成事件A至少发生7次，故由在n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率计算公式可求．[点评]独立重复试验是同一试验的n次重复，每次试验结果的概率不受其它次结果的概率的影响，每次试验有两个可能结果：成功和失败．n次试验中A恰好发生了k次的概率为Cnkpk(1－p)n－k，这k次是n次中的任意k次，若是指定的k次，则概率为pk(1－p)n－k.某人参加一次考试，若5道题中解对4道题则为及格，已知他解一道题的正

6、确率为0.6，试求他能及格的概率．[解析]设“解对一道题”为事件A，则解5道题相当于5次独立重复试验．若他要达到及格，则事件A至少要出现4次，也就是说事件A要发生4次或5次．因为事件A发生4次与发生5次是互斥的．把“A发生4次”与“A发生5次”分别记为B1、B2，“这人最后成绩为及格”设为事件B，则事件B发生的概率为[例3]一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设X为这名学生在途中遇到的红灯次数，求X的分布列．[点评]解此类题首先判断随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，然后求出P(X＝k)＝Cnkpk(1

7、－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，最后列出二项分布列．某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该咨询中心，且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列．[例4]有10台都为7.5千瓦的机床，如果每台机床的使用情况是相互独立的，且每台机床平均每小时开动12min，问全部机床用电超过48千瓦的可能性有多大？(保留两位有效数字)[分析]解答本题的关键是明确某一时刻正常工作的机床台数X服从二项分布，即X