概率论与数理统计(II)

《概率论与数理统计(II)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第二章第四节连续型随机变量及其分布一、连续型随机变量的定义二、常用的连续型随机变量一、连续型随机变量的定义1.概率密度定义1.设F(X)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数fxx,，使对任意实数x有xF(x)＝P(Xx)＝f(u)du则称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数。常记为X~fx,x,若已知密度函数，该连续型随机变量的概率分布规律就得到了全面描述.2.概率密度的性质⑴非负性f(x)³0⑵归一性f(x)dx＝1

2、可由下图表示由于F()f(x)dx＝1f(x)面积为1这两条性质是判定一个函数f(x)是否为某随机变量X1的概率密度函数的充要条件。0x⑶对于任意实数a，有P{X=a}=0这是因为P{Xa}limP{axXa}x0lim{F(a)F(ax)}=0x0这里事件{X=a}并非不可能事件，P但{X=a}=0可见由P(A)=0，不一定能推出A=F由P(B)=1，不一定能推出B=S称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.⑷对于任意的数a

3、P{a

4、x0x故X的密度f(x)在x这一点的值，恰好是X落在区间(x,xx]上的概率与区间长度x之比的极限。这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度。若不计高阶无穷小，有：P{xXxx}fxx这表示X落在小区间(x,xx]上的概率近似地等于fxx。f(x)x在连续型随机变量理论中所起的作用与P(Xx)p在离散型随机变量理论中所起的作用kk相类似。f(x)要注意的是:密度函数f(x)在某点处a的高度1f(a)并不是Xa的概率.0x但是这个高度越大，则X取a附近

5、的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线的高度反映了随机点集中在该点附近的密集程度.例1求下列函数是否为概率密度函数1fxx2(1x)解f(x)0是显然的；11f(x)dx2dx1x2122dxarctanx

6、10201x2故f(x)可以作为密度函数。例2设连续型随机变量X的分布函数为11Fxarctanxx2试求X的密度函数．解设X的密度函数为fx，则11fxFxx

7、21x2x1ex0例3设X的分布函数为Fx0x0求PX2PX3fx.4解PX2F21e6PX31PX31F3e2x2ex0fxFx0x0例4设X是连续型随机变量，其概率密度为ìïAï,

8、x

9、<1,ïï2f(x)=í1-xïïïïî0,

10、x

11、³1.求⑴常数A；⑵P{

12、X

13、<1/2}；⑶X的分布函数。+¥解⑴由òf(x)dx=1-¥1Adx=1得Aarcsinx

14、=Ap=1ò-12-11-x

15、则A=1/p112⑵P{

16、X

17、<1/2}=dxò-122p1-x11/21=arcsinx=-1/2p3x⑶F(x)=òf(x)dx-¥-11x当x<-1时，F(x)=0-1x1当-1£x<1时，F(x)=ò0dx+òdx-¥-1p1-x211得F(x)=+arcsinx2p11当x³1时，F(x)=òdx=1-12p1-xìï0,x<-1,ïïïï11所以F(x)=í+arcsinx,-1£x<1,ï2pïïï1,x³1.ïî由于f(x)是分段表达的，求F(x)时注意分段求.分布函数分布函数离散型r.v

18、的连续型r.v的的性质分布函数分布函数概率分布律概率密度与分与分布函数布函数的关系的关系二、几种常用的连续型随机变量1.均匀分布f(x)定义若随机变量X的概率密度为：1b-a1,axbf(x)baabx0,其它则称X服从区间[a,b]上的均匀分布，记作X~U[a,b]均匀分布的密度函数的验证设X~U[a,b]，其中f(x)是其密度函数，则有⑴．对任意的x，有fx0；ab⑵．fxdxf