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1、第二节估计量的评选标准一、无偏估计定义：是的一个估计量，如果成立，则称是的一个无偏估计量。的估计量是样本的函数，对于不同的观察值，求得的值不同，因此，的取值不一定等于所要估计的参数但从平均意义上讲，应该等于所估计的参数未知参数例1设是来自总体X的样本，总体的数学期望未知，试问样本均值是否为的无偏估计量。因为所以，是总体数学期望的无偏估计量。解设总体的数学期望为,则例2设是来自总体X的样本，总体的方差未知，用样本的二阶作为总体方差的估计，中心矩是否为无偏估计。解所以，样本的二阶中心矩不是总体方差的无偏估计。定义：设都是未知参数的无偏估计若,则
2、称估计量较有效。但任意一个无偏估计的方差不可能无限制地小，在样本容量一定时，它有一个下限值。设总体X的概率密度函数为样本容量为n是未知参数的一个无偏估计。则为参数的无偏估计的下界。二、有效估计若的无偏估计满足则称为的有效估计。例3总体数学期望的无偏估计中，哪一个估计量最有效？解比较上述估计量的方差，可见最小，所以最有效。例4设总体X服从参数为的泊松分布，试证：是的有效估计。证明由题可知X的分布列为由概率知识可知，则样本均值是总体数学期望的无偏估计。又对参数求偏导数得则又故是未知参数的有效估计。因此，的无偏估计方差下界为所以三、一致估计定义设
3、为未知参数的估计量，若对任意的正数有则称为的一致估计。例证明样本均值是总体均值的一致估计证明设由大数定理可知:总结：从统计方法要求来看，我们自然要求一个估计量具有一致性，然而，用一致性来评价估计量好坏时，要求样本容量充分地大，但这一点在实际中往往办不到。无偏性直观、简便，但它不能体现与真值的偏离程度。有效性无论在直观上或理论上都比较合理。所以在使用上，这是用得比较多的一个评价标准。所以，样本均值是总体均值的一致估计。第三节区间估计且若对于给定的有则称随机区间是参数的的置信区间或区间估计，分别称为定义设总体X的分布中含有未知参数为从总体X中抽
4、取的容量为n的样本，由样本构造两统计量。及设总体是它的一个样本，求的置信区间。1、方差已知时，均值的区间估计的置信下限和置信上限，称为置信水平或置信度或置信概率。真值的仅有1个。由定义表达的实际意义：若反复抽样100次，得到100个相应区间，其中不含一、正态总体均值的区间估计的估计量有故随机变量即由正态分布的对称性及分位数的定义，对给定的从正态分布表可查得相应分位数使于是有因此，参数的置信度是的置信区间为总结：1、置信度越大，置信区间越宽，降低了精度。应适当选取。2、当X非正态总体时，在大样本下仍然可用上述区间作为的置信区间。中心极限定理例
5、1某厂生产滚珠，从某天生产的产品中随机抽取6个，测得直径为（单位：）：14.6,15.1,14.9,14.8,15.2,15.1并知道滚珠的直径,求平均直径的置信区间。由正态分布表查得使得解:这是一个正态总体,已知方差,由前面结论即可求出置信区间由样本观察值得置信下限:置信上限:因此,的置信度为0.95的置信区间是(14.75,15.15)。其中t分布是对称的,对给定的分布查表得自由度为n-1的t分布的分位数使得2、方差未知时，均值的区间估计由抽样分布可知：即从而故得参数的置信水平为的置信区间为例2假设初生婴儿的体重服从正态分布,随机抽取1
6、2名初生男婴,测得其体重为(单位:g):25203000300030003160356033202880260034002540试以95%的置信度求初生男婴的平均体重的区间估计。由样本观察值得这是一个正态总体，方差未知，求总体均值的区间估计问题，由上面结论可求出查分布表得因为解因而得到初生男婴平均体重的95%置信区间为（2820，3300）前面讨论的总体均值的置信区间，其置信限都是双侧的，在有些实际问题中，例如某元件的使用寿命，平均寿命长没有问题，太短就不行。在这种情况下，可将置信上限取为，而只考虑置信下限。这种估计方法称为单侧置信限的估计
7、法。注：设正态总体是总体X的一个样本，未知时，求的置信区间。的无偏估计，由分布表查得二、正态总体方差的区间估计又此分布完全确定，与未知参数无关，对给定的，使得和即故得的置信区间为：从而，的置信区间为例3为确定某种溶液中甲醛浓度，取样得4个独立测定值的平均值，样本标准差，并设被测总体近似服从正态分布，求总体方差的置信区间，及总体标准差的置信区间。因为由分布表查得所以从而得的95%置信区间为（0.00029,0.0125）的置信区间为解又已知1、方差已知时，求的区间估计因为三、两个正态总体均值差的估计设有两个正态总体X和Y，且及是分别从总体X和
8、总体Y中抽取的两个独立样本和和分别为两个样本的均值和方差，下面求的置信区间。两个样本相互独立，故有从而对于给定的，由正态分布表查得使得即从而得到的置信区间2、若未知时，求的区间估
