样本及抽样分布(II)

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1、§6.3抽样分布一.概念二.来自正态总体的几个常用统计量的分布一.概念x1,x2,…,xn是相应于样本X1,X2,…,Xn的样本值,则称g(x1,x2,…,xn)是g(X1,X2,…,Xn)的观察值。注：统计量是随机变量。是一统计量。若X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本,g(X1,X2,…,Xn)是X1,X2,…,Xn的函数，不含任何未知参数，则称g(X1,X2,…,Xn)若g中1.样本是我们进行分析和推断的起点，但实际上我们并不直接用样本进行推断，而需对样本进行“加工”和“提炼”，将分散于样本中的信息集中起来。设　　　　为来自总体的一个样本，问下列随机变量中那些是统计量思考？2.常用

2、统计量样本均值样本方差它反映了总体均值的信息它反映了总体方差的信息样本标准差样本k阶原点矩样本k阶中心矩k=1,2,…它反映了总体k阶矩的信息它反映了总体k阶中心矩的信息它们的观察值分别为：样本均值样本方差样本标准差样本k阶矩样本k阶中心矩3.经验分布函数与总体分布函数F(x)相对应的统计量的观察值的观察值对于经验分布函数格里汶科在1933年证明了如下定理统计量是样本的函数，它是一个随机变量，统计量的分布称为抽样分布。X1,X2,…Xn是来自总体N(0,1)的样本,则称统计量二.来自正态总体的几个常用统计量的分布服从自由度为n的2分布.(一)2分布记为2～2(n).分布是由正态分布派生

3、出来的一种分布.1.定义及概率密度分布的密度函数为来定义.其中伽玛函数通过积分2分布的密度函数的图形如右图.(1)设相互独立,都服从正态分布则(2)设且X1,X2相互独立，则分布的可加性2.例(X1,X2,X3)为X的一个样本求的分布。解因为(X1,X2,X3)为X的一个样本Xi~N(0,1)，i=1,2,3则i=1,2,33.期望和方差4.上分位点设X1,…,X10是来自正态总体X～N(0,0.32)的一个样本,例1设X～2(15),试确定x的值,使P(Xx)=0.95.解由题意知,所求x满足P(X>x)=1-0.95,n=15,=0.05,查附表知,x=24.996.例2求解∵Xi

4、～N(0,0.32),i=1,2,…,10.又由于它们相互独立,=0.1.(二)t分布设X～N(0,1),Y～2(n),且X,Y相互独立,称统计量服从自由度为n的t分布.记为t～t(n).T的密度函数为：1.定义及概率密度当n充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形.t分布的密度函数关于x=0对称，且当n充分大时，t分布近似N(0,1)分布.但对于较小的n，t分布与N(0,1)分布相差很大.例(X1,X2,X3)为X的一个样本，求的分布i=1,2,32.上分位点(三)F分布设U～2(n1),V～2(n2),且U,V相互独立,服从自由度为(n1,n2)的F分布.记为F～F(n1,n

5、2).~1.定义称统计量例(X1,X2,…,X5)为取自正态总体X~(0,σ2)的样本，求统计量的分布解2.上分位点特别地,若X～N(,2),有(四)正态总体的样本均值与样本方差的分布设总体X的均值为,方差为2,X1,X2,…Xn是X的一个样本.n取不同值时样本均值的分布对于正态总体的样本方差S2,有以下定理:定理1X1,X2,…Xn是总体N(,2)的一个样本.(1)(n-1)S2/2～2(n-1)(2)n取不同值时的分布设X1,X2,…,Xn是取自正态总体的样本,分别为样本均值和样本方差,则有定理2证明定理2:由定理1,(n-1)S2/2～2(n-1)即XY由t分布的定义

6、，定理3(两总体样本均值差的分布)分别是这两个样本的样本均值,且X与Y独立,X1,X2,…,是取自X的样本,取自Y的样本,分别是这两个样本的样本方差,则有Y1,Y2,…,是定理4(两总体样本方差比的分布)分别是这两个样本的且X与Y独立,X1,X2,…,是取自X的样本,取自Y的样本,分别是这两个样本的样本方差,均值，则有Y1,Y2,…,是样本假设某物体的实际重量为,但它是未知的.现在用一架天平去称它,共称了n次,得到X1,X2,,Xn.根据基本定理,例1通常我们用样本均值:假设每次称量过程彼此独立且没有系统误差,则可以认为这些测量值都服从正态分布N(,2),方差2反映了天平及测量过程的

7、总精度.如=0.1时,若取n=10.则:“3σ规则”于是根据第二章讲过:随着称量次数n的增加,这个偏差界限还是=0.1时,若取n=100.则:在设计导弹发射装置时,重要事情之一是研究弹着点偏离目标中心的距离的方差.对于一类导弹发射装置,弹着点偏离目标中心的距离服从正态分布N(,2),这里2=100米2.现在进行了25次发射试验,用S2记这25次试验中弹着点偏离目标中心的距离的样本方差.求