样本及抽样分布

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1、第六章样本及抽样分布1、随机样本2、抽样分布3、常用统计量4、常用统计量的分布§6.1随机样本一、总体与样本•总体：研究对象的全体通常指研究对象的某项数量指标•个体：组成总体的元素（每个可能的观察值）从本质上讲，总体就是所研究的随机变量或随机变量的分布•总体容量：总体中包含的个体个数•有限总体，无限总体抽样描述从总体中抽取一个个体，就是对X进行一次观察并纪录其结果。将结果记为X1，X1是一个随机变量。X1与X同分布。抽取n次，就是进行n次重复、独立的观察，得到结果X1,X2,…,Xn。X1,X2,…,Xn每个都是随机变量，每个都与X具有相同的分布。样本:由部分

2、个体构成的集合，来自某一个总体。当n次观察一经完成，我们就得到一组实数x1,x2,…,xn，它们是随机变量X1,X2,…,Xn的观察值，称为样本值。样本选择方式:(1)有放回抽样.(2)无放回抽样特别,样本容量<<总体数量时,无放回抽样可近似看作有放回抽样。简单随机样本(s.r.s):具有两个特点的样本:代表性(组成样本的每个个体与总体同分布),独立性(组成样本的个体间相互独立)。样本容量:样本中所含个体的个数。如,检验一批灯泡的质量,从中选择100只,则总体：这批灯泡(有限总体)个体：这批灯泡中的每一只样本：抽取的100只灯泡(简单随机样本)样本容量：100

3、样本观测值：x1，x2，…,x100定义:设X为一随机变量,其分布函数为F(x),X1,X2,…,Xn是一组独立且与X同分布的随机变量,称X为总体;(X1,X2,…,Xn)为来自总体X(或分布函数F(x))的简单随机样本;n为样本容量;在依次观测中,样本的具体观测值x1,x2,…,xn称为样本值XX1,X2,…,X100100样本值总体、样本、样本观察值的关系统计是从手中已有的资料——样本观察值，去推断总体的情况——总体分布。样本是联系两者的桥梁。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去推断总体。总体选择个体样本

4、观测样本样本观察值(数据)数据处理样本有关结论统计的一般步骤:推断总体性质统计量为了集中简单随机样本所带来的总体信息,考虑样本的函数,且不含任何未知参数,这样的“不含未知参数的样本的函数”称为统计量。是来自总体例6.2.1设未知,则()不是统计量。的s.r.s,其中已知,第6.2节统计量定义:设X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本,g(X1,X2,…,Xn)是n维随机变量的函数,若g中除样本的函数外不含任何未知参数,则称g(X1,X2,…,Xn)为统计量.统计量的分布称为抽样分布.①样本均值常用统计量:②样本方差③样本标准差④样本k阶原点矩⑤样本k阶中心

5、矩(6)顺序统计量与样本分布函数设X1,X2,…,Xn的观察值为x1,x2,…,xn,从小到大排序得到:x(1),x(2),…,x(n),定义X(k)=x(k),由此得到的(X(1),X(2),…,X(n))或它们的函数都称为顺序统计量.显然X(1)X(2)…X(n)且有X(1)=min(X(1),X(2),…,X(n)),X(n)=max(X(1),X(2),…,X(n))1)样本中位数2)样本极差R=X(n)-X(1)样本分布函数(经验分布函数)格里汶科定理:设总体X的分布是F(x),则下式成立第6.3节抽样分布一、样本均值的分布定理：设X1，X2,

6、…Xn是来自总体N(μ,σ2)的样本，是样本均值，则有注：在大样本情况下，无论总体服从何种分布均有z1-α例6.3.1设X~N(0,1),分别为0.95,0.975,0.75,求X关于λ的100%分位数.Xφ(x)三、标准正态分布及其100%分位数定义:设X~N(0,1),对任意0<α<1,若P{X<λ}=α,则称λ为标准正态分布的100%分位数,记为解:α=0.95时,反查表得:z0.95=1.64类似可得:z0.975=1.96,z0.75=0.69-z分布及其性质1.定义:称n个相互独立、同标准正态分布的随机变量的平方和X的分布为自由度为n的分布

7、,记作(2)X1,X2,…Xk独立,Xi~(ni),(i=1,2,…,k),则2.性质:(1)X1,X2,…Xn独立,Xi~N(0,1),(i=1,2,…,n),则(3)X1,X2,…Xn为来自总体N(μ,σ2)的简单随机样本,则四、（4）例6.3.2设是来自总体的s.r.s,则服从()分布。例6.3.3(983)设是取自总体N(0,4)的s.r.s,当a=,b=时,解(1)服从(2)由题意得a=1/20b=1/1003.的密度曲线Xf(x)n=1n=4n=10随着n的增大,密度曲线逐渐趋于平缓,对称.4.分布的100%分位数定义:设,对于给定的(0<<

8、1),若P{X<λ}=,则称λ为自由