样本及抽样分布(I)

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1、第6章样本及抽样分布第1章至第5章属于概率论范畴；第6章至第9章属于数理统计范畴。概率论、数理统计都是研究随机现象的统计规律性的数学分支，但两者研究角度不同。概率论：从已知数学模型出发，研究随机现象的性质、特点、规律；如已知X~N(a,d2),P{X∈(b,c)}.数理统计:观察随机变量得到数据，由此选择、检验数学模型，并对所考察的问题作出推断或预测。数理统计的任务就是研究怎样有效地收集、整理、分析所获得的有限的资料，对所研究的随机现象的一般概率特征如分布函数、概率密度（或分布律）、数学期望、方差等尽可能地作出精确而可靠的统计推断.直观描述：具有一定共同属性的研究对象的全体

2、称为总体总体中每个成员称为个体.§1随机样本有限总体无限总体由于研究总体往往只关心其中的某项数量指标，而该数量指标是一个精确描述：具有确定分布函数F(x)的随机变量X称为总体(总体X，或总体F(x))；1.总体与个体2.样本直观描述：对总体作n次“简单随机抽样”，得到n个个体：(X1,X2,…,Xn)，称为总体的一个样本容量为n的样本。其中Xi为第i次抽样的结果，为随机变量。总体的每次抽样结果称为一个个体。即①每个个体被抽取的机会均等，②每次抽取后不改变总体的分布。要获取有关总体的信息，需对总体进行抽样。一般我们作简单随机抽样，X1,X2,…,Xn来自同一总体，且相互独立.

3、可得样本的精确描述：若X1,X2,…,Xn相互独立，且具有相同分布函数F(x)，则称(X1,X2,…,Xn)为来自总体F(x)的一个样本容量为n的样本(可看作n维随机变量),它们的观察值x1,x2,…,xn称为样本值。随机变量，因而，得到统计学中的由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行“加工”，这就要构造一些样本的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来.§2.抽样分布1.统计量这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量.定义:设X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本,g(X1,X2,…,Xn)是n维随机变量函数,若g中不含任何未知参数,则称g(X1,X2,…

4、,Xn)为统计量.设x1,x2,…,xn为X1,X2,…,Xn的观察值，则称g(x1,x2,…,xn)为g(X1,X2,…,Xn)的观察值.统计量是一个随机变量，统计量的分布称为抽样分布.例1设X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本，X~N(,2),且已知，2未知，问下列样本函数哪个是统计量？是统计量不是统计量§2.抽样分布(续1)§2.抽样分布(续2)几个常见统计量样本均值样本方差样本k阶原点矩它反映了总体k阶原点矩E(Xk)的信息它反映了总体方差DX的信息它反映了总体均值EX的信息样本k阶中心矩k=1,2,…它反映了总体k阶中心矩E{(X-EX)k}的信息最

5、小项统计量X(1)=min(X1,X2,…,Xn)最大项统计量X(n)=max(X1,X2,…,Xn)§2.抽样分布(续3)2.经验分布函数:设X1,X2,…,Xn是总体F(x)的一个样本，S(x)是X1,X2,…,Xn中不大于x的个数，定义经验分布函数为Fn(x)=S(x)/n,-∞

6、n(x)以概率1关于x一致收敛于F(x):记为分布(1)§2.抽样分布(续5)3.抽样分布（统计量的分布）一．来自正态总体的几个常用的抽样分布所以X1,X2,…,Xn为来自正态总体N(µ,σ2)的样本,则所服从的分布为自由度为n的分布.定义:设X1,X2,…,Xn相互独立,都服从正态分布N(0,1),则称随机变量：分布的密度函数为其中伽玛函数§2.抽样分布(续6)伽玛函数伽玛函数性质：特别，当n为正整数，有在s>0连续，且3.伽玛函数定义中，设x=u2,得再令t=2s-1,可得令s=1/2,得：且X1,X2相互独立，则则E(X)=n,D(X)=2n.②若§2.抽样分布(续7

7、)分布的性质①可加性:设证：，X1,X2,…,Xn为N(0,1)的样本，∴E(Xi2)=D(Xi)+(EXi)2=1,于是又D(Xi2)=E(Xi4)-[E(Xi2)]2,而∴D(Xi2)=2，且X1,X2相互独立，则则E(X)=n,D(X)=2n.②若§2.抽样分布(续7)分布的性质①可加性:设T分布的密度函数为：记为T～t(n).定义:设X～N(0,1),Y～,且X与Y相互独立，则称变量所服从的分布为自由度为n的t分布.(2)t分布§2.抽样分布(续８)-∞