中考数学教学指导：与函数有关的“新定义问题”

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1、与函数有关的“新定义问题”解决有关函数的“新定义问题”，可以很好的考查李生综合应用知识和对知识的迁移能力，近年来各地的屮考试题多有涉及.现以2015年屮考题为例加以分析.一、定义新点例1在直角坐标系中，我们不妨将横坐标、纵坐标均为整数的点称之为“中国结"⑴求函数y二Jix+2的图彖上所有“中国结”的坐标；(2)若)为常数)的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数P的值与相x应“中国结”的坐标；(3)若二次函数y=(k2-3k+2)x2+(2k2-4k+l)x+k2为常数)的图彖与x轴相交得到两个不同的'‘屮国结

2、”，试问该函数的图象与兀轴所围成的平面图形中(含边界)，一共包含有多少个“中国结”？分析与解答该题涉及到一次、二次函效及反比例函数图象的性质，解决方式是数形结合思想和分类讨论思想.具体解答如下：(1)由于兀的系数是一个无理数，要满足条件，兀只能是0,y=2,故函数歹=屈+2的图象上所有“中国结”的坐标是(0,2).(2)分类讨论：①当《=1时，xy=L故满足条件的答案是(1,1)、(-1,-1);②当£=一1时，厂=—1,故满足条件的答案是(一1,1)、(1,一1);③当2土1吋，如£=2,图象上的“中国结”个数

3、明显地超过2个，有(1,2)、(2,1)、(―1,—2)、(-2,-1),以此类推，当k^±1时，“中国结”的个数多于2个.(3)不妨令(k2一3£+2)x2+(2k2一4k+l)x+a?—=0,kk-解得西二—_,①无=—丄上.②k-k-2由①②得，亠=纽也，整理，得禺(西+2)=-1.X}+1X2+1因为—1=1x(-1)=-1X1,故得到关于西、兀2的方程组：兀2二T，X]+2=1.解之得pX

4、——3,或rXy——1,lx。=1；匚兀，=-1.又抛物线与X轴相交，且有两个交点，可得片工兀2，故舍去「兀1

5、=-1'L兀2=-1•当兀］=一3,时，y的值为0;当兀2=1时，歹的值为0,・・・(一3,0)、(1,0).当西二一一，求得R=1.5,此时二次函数的解析式为y=--(x+3)(^-l).k14当x=-2时，y=0J5不是整数；当兀=一1,y=l,坐标(—1,1)为"中国结”；当x=0,y=0.75,不是整数.故当k=L5时，抛物线与兀轴所围成的平面图形屮(含边界)，一共包含三个“屮国结”,即(-3,0)(一1,1)、(1,0).二、定义新数例2如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与

6、从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”.例如自然数12321,从最高位到个位依次排出的一串数字是:1,2,3,2,1,从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1,2,3,2,1,因此12321是一个“和谐数”.再如22,545,3883,345543,…都是“和谐数”・(1)请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除?并说明理由；(2)已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字为x(

7、兀的函数关系式.分析与解答该题涉及到因式分解、规律探索等问题.具体解答如下：⑴答案不唯一:如1441,2442,1881,它们能被11整除，理由如下：不妨设一个四位“和谐数”为兀刃冼，用十进制表示为：1000x+100y—y+x=100Lr+110y=ll(91x+10y).•・•兀、y是0—9之间的整数，A1l(91x+10y)能被11整除;(2)设一个三位“和谐数”为兀)冼，用十进制表示为:100x+10y+x=101x+10y.因为它是麻的倍数，故驾空-定是整数，将其变形，得lOlx+lOy.11_二99兀

8、+lly+2—y®+y+2_1111所以X、y是()一9之间的整数，故2%_>?必须是整数.11又vl

9、4m2+5mn+n2=0;2(3)若点(p,q)在反比例函数y=二的图彖上，则关于x的方程px2^-3x+q=0是倍根方程；(4)若方程a?+bx+c=0是倍根方程，且相异两点M(l+/,$),N(4-/,$)都在抛物线y=ax1+Z?x+c±,则方程ax1+bx+c=0的一个根为丄.4分析与解答该题涉及到的内容有:根的判别式、根与系数的关系、抛物线和双曲线上点的坐标特点