中考数学复习指导：与二次函数有关的最优化问题

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1、与二次函数有关的最优化问题与二次函数有关的最优化问题在人们的生产、生活屮有着广泛的应用，为帮助同学们进一步掌握这类问题的求解策略，下面给出与之有关的试题，供大家参考.例1.某商品的进价为每件40元.当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件.在确保盈利的前提下,解答下列问题：（1）若设每件降价兀元、每星期售出商品的利润为y元，请写出丿与无的函数关系式,并求出口变量兀的取值范围；（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？分析：这是一道与簡品销售有关的最优化问题.首先根据“利润=（售价一进价）X销售量”构建二次函数，

2、然后通过配方或用顶点坐标公式求出最值.解：（1）>=（60-x-40）（300+20x）=6000+400兀一300X-20?=-20?+100x+6000自变量x的取值范围是0例2现有一块矩形场地，如图1所示，长为40m,宽为30m,要将这块地划分为四块分别种植：A・兰花；B.菊花；C.月季；

3、D.牵牛花.(1)求出这块场地中种植B菊花的面积y与B场地的长%之间的函数关系式，并写出自为量的取值范I韦I.(2)当无是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？图1分析：这是花草种植面积的最优化问题，先根据矩形的面积公式列出y与兀之间的函数关系式，再利用配方法或公式法求得最大值.解：(1)由题意知，B场地宽为(30-兀)m,y=无(30—兀)二一兀2+30兀，自变量兀的取值范围为0vx<30.(2)y=-x2+30x=-(-v-15)2+225,当x=5m时，种植菊米的而积最大，最大面积为225ml点评：求解与二次函数有关的最优化问题时，首先要根据题意构建函数关系式，然后再利用配

4、方法或公式法求得最大值.有一点大家一定要注意：顶点横坐标在自变量的取值范围内时，二次函数在顶点处取得最值；顶点横坐标不在自变量的取值范围内时，要根据题目条件，具体分析，才能求出符合题意的最值.确定材料费用最省方案例3、某人定制了一批地砖，每块地砖(如图1(1)所示)是边长为0.4米的正方形ABCD点、E、F分别在边BC和CD上，CFE、'ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元,若将此种地砖按图1(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH.⑴判断图⑵屮四边形EFGH是何形状，并说

5、明理由；(2)E>F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？分析：(1)通过观察图形，可猜想四边形EFGH是正方形。要注意图形中隐含的条BEC⑴⑵图1件，由图1(2)可得ACEF是等腰直角三角形,即可说明四边形EFGH是正方形；(2)设CE=x,则BE=0.4-x,每块地砖的费用为“分别求出△CFE、/XABE和四边形AEFD的面积，再根据价格列出y与x的函数关系式，进而借助最值公式求得最小值。解：⑴四边形EFGH是正方形.图1(2)可以看作是由四块图1(1)所示地砖绕C点按顺(逆)时针方向依次旋转90。后得到的，故CE=CF=CG=CH.:.CEF、'CFG、△CGH、△CHE

6、是四个全等的等腰直角三角形.因此EF=FG=GH=HE,ZFEH=ZEFG=ZGHE=ZFGH=90°,因此四边形EFGH是正方形.1■V~2'V(2)设则BE=0.4-x,每块地砖的费用为y,那么x30+丄x0.4x(0.4-x)x20+[0.16-丄/-1X0.4x(0.4-x)]x10=10(/-0.2r4-0.24)222=10(x-0.1)2+2.3(0＜兀V0.4).当灯0」时，y有最小值，即费用为最省，此时CE二CF二0.1。答：当CE=CF=0A米时总费用最省.说明：这类探究几何图形中的关系式的问题，在近年来考试题中较为常见，同学们要注意总结它们的方法，一般地，在平面儿何

7、屮寻找关系式，要充分挖掘图形的性质，利用图形的性质（如而积公式、相似三角形的性质等）列出关系式。求销售的最大利润例4、一家电脑公司推出一款新型电脑.投放市场以來前3个月的利润情况如图2所示，该图可以近看作为抛物线的一部分.请结合图象，解答以下问题：（1）求该抛物线对应的二次函数解析式；（2）该公司在经营此款电脑过程中，第儿月的利润最大？最大利润是多少？（3）若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况（是否••••