中考中与二次函数有关的面积问题

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1、中考中与二次函数有关的面积问题图1ABCDx3040x有许多面积的最大(小)值问题,是中考的重点题型，常常是例用二次函数的最大(小)值来解决的,现举例说明这类问题的解法.例1.(2008西宁市)现有一块矩形场地，如图1所示，长为40m，宽为30m，要将这块地划分为四块分别种植：．兰花；．菊花；．月季；．牵牛花．（1）求出这块场地中种植菊花的面积与场地的长之间的函数关系式，并写出自为量的取值范围．（2）当是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？分析：这是花草种植面积的最值问题，先根据矩形的面积公式列出与之间的函数

2、关系式，再利用配方法或公式法求得最大值.解：（1）由题意知，场地宽为，∴，自变量的取值范围为．（2），当时，种植菊米的面积最大，最大面积为225m2．例2.（2007年兰州市）某农场计划建一个养鸡场,为了节约材料,鸡场一边靠着原有的一堵墙(墙足够长),另外的部分用30米的竹篱笆围成,现在两种方案：①围成一个矩形(如图2)；②围成一个半圆形(如图3).设矩形的面积为平方米,宽为x米,半圆形的面积为平方米,半径为x米,请你通过计算帮助农场主选择一个围成区域面积最大的方案().图2图3分析：这是一道实际应用问题，方案②中半

3、圆的面积是固定不变的，解决本题的关键是确定方案①中矩形面积的最大值，然后再比较.因此，对于方案①，-5-需要根据矩形的面积构造二次函数，通过求二次函数的最值解决．解:方案①：当x=7.5米时，取最大值112.5平方米.方案②：由得米，所以平方米.∵112.5<150，∵，∴应选方案②.例3.在某市开展的创城活动中，桃园小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成（如图4所示）．若设花园的BC的边长为x(cm)，花园的面积为y(m2）．图4（1）求y

4、与x之间的函数关系式，并写出自变量是x的取值范围；（2）满足条件的花园面积能达到200m2吗？若能，求出此时x的值；若不能，说明理由；（3）根据（1）中求得的函数关系式,描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？分析：（1）根据矩形的面积可以确定函数表达式,根据墙长可确定自变量的范围；（2）假设可到200m2矩形,根据函数值构造方程,求出x的值与墙长比较,从而判断是否面积可达到200m2；（3）通过求二次函数的最值可求到花园的最大面积.解：（1）根据题意得：,　所以y=－x2+

5、20x(015m,所以此花园的面积不能达到200m2.（3）因为的图像是开中向下的抛物线，对称轴为x=20．所以当0

6、的取值范围0

7、边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图1）.若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym2.（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？分析：由题意，y表示的矩形的面积，因此需表示出矩形的长与宽，根据长BC=xm，AB＋BC＋CD=40m，得：宽=m.解：（1）由题意和矩形的面积公式，得y＝x×＝－x2+20x，（0＜x≤25）.-5-（2）y＝－x2＋20x＝－(x－20)2＋200，由于20＜25，所以当x＝20时，y有最大值200.即当x＝2

8、0时，满足条件的绿化带面积最大.点评：需注意求最大面积必须在自变量的取值范围内求.例2用长为l2m的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃．如图2，围出的苗圃是五边形ABCDE，AE⊥AB，BC⊥AB，∠C=∠D=∠E．设CD=DE=xm，五边形ABCDE的面积为Sm2．问当x取什么值时，S最大?并求出S的最大值．分析：由于五边形没有自己的面积公