中考数学专题指导4：新定义概念问题

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1、中考数学专题指导第四讲新定义概念问题(一)考点解析：所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，其特点是源于初中数学内容，但又是学牛没有遇到的新信息，它可以是新的概念、新的运算、新的符号、新的图形、新的定理或新的操作规则与程序、新的情境等等•要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型•“新定义”型问题成为近年來中考数学试题的新亮点.解题关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移.(-)考点训练考点1:

2、定义新数【典型例题】：(2017重庆B)对任意一个三位数n,如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F(n)・例如n=123,对调百位与十位上的数字得到213,对调百位与个位上的数字得到321,对调十位与个位上的数字得到132,这三个新三位数的和为213+321+132二666,6664-111=6,所以F(123)=6.(1)计算：F(243),F(617)；(2)若s,t都是“相异数”,其中s二100x+32,t=150+y(

3、1WxW9,lWyW9,x,y都是正整数)，规定：k二马卑，当F(s)+F(t)=18时，求k的最大值.F(t)【分析】(1)根据F(n)的定义式,分别将n=243和n二617代入F(n)中，即可求出结论；(2)由s二100x+32、t二150+y结合F(s)+F(t)=18,即可得出关于x、y的二元一次方程，解Z即可得出x、y的值，再根据“相异数”的定义结合F(n)的定义式，即可求岀F(s)、E(t)的值，将其代入中，找出最大值即可.F(t)【解答】解：(1)F(243)=(423+342+234)4-111=9；F(617)=(167+716+671)4-111=

4、14.(2)Vs,t都是“相异数”,s二100x+32，t=150+y,F(s)二(302+10x+230+x+100x+23)F111二x+5,F(t)=(510+y+100y+51+105+10y)一111二y+6.eF(t)+F(s)=18,•x+5+y+6二x+y+11=18,•x+y二7.x=y=x=y=皿或严y=2Iy=lTWxW9,lWyW9,且x,y都是正整数,ly=6(y=5I•s是“相异数”，•xH2,xH3.・t是“相异数”,・yHl,yH5・x=5y=2‘F(s)=9或F(t)=9^FCs)或严4或F(s)=10>F(t)=8'F(s)5ly

5、=6Iy=3•"严或lF(t)=12.丘舉-A或k丄黑或k片J』，F(t)2«fQ)kpg)4・k的最大值为5.4【点评】本题考查了因式分解的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是:(1)根据F(n)的定义式，求出F(243)、F(617)的值；(2)根据s二100x+32、t=150+y结合F(s)+F(t)=18,找出关于x、y的二元一次方程.方法归纳总结：对新数的解析蕴含在对数量关系的描述中，充分理解，结合相应知识，才能顺利解答.考点2：定义新运算【典型例题'(2017广西百色)阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2-x・3的方法.(1)二次项系数2=1X2

6、；(1)常数项-3二-1X3二IX(-3),验算:“交叉相乘之和”；③©1X3+2X(-1)=1X1+2X(・3)二・5IX(-1)+2X3=5IX(-3)+2X1=-11(1)发现第③个“交叉相乘Z和"的结果IX(-3)+2X1=-1,等于一次项系数-1・即：(x+1)(2x-3)=2x2-3x+2x-3=2x2-x-3,贝J2x2-x-3=(x+1)(2x-3).像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.仿照以上方法，分解因式：3x?+5x-12二(x+3)(3x・4)・【考点】57：因式分解■十字相乘法等.【分析】根据“十字相乘法”

7、分解因式得出3x2+5x-12=(x+3)(3x-4)即可.【解答】解：3x2+5x-12=(x+3)(3x-4).故答案为：(x+3)(3x・4)【变式训练】:(2017日照)阅读材料：在平面直角坐标系xOy中，点P(xo,y0)到肓线Ax+By+C二0的距离公式为：d二

8、Axo+BygiC

9、屆丄*例如：求点P。(0,0)到直线4x+3y-3=0的距离.解：由直线4x+3y-3=0知，A二4,B二3,C=-3,・••点P°(0,0)到直线4x+3y-3=0的距离为d=I4XQ43XJQ-313~^42+325■根据以上材料，解决下列问题：问题1：点