《工科数学分析教学资料》复习重点

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1、使用Dirichlet判别法和Abel判别法判断数项级数的收敛性，进而判断绝对收敛性1.判断下面级数是否收敛.8n=l沖（1+丄几itn五、（本题15分）OO1寸COS—l、n讨论级数工——（1+-）的收敛性，如果收敛，要分析是绝对收敛还是条件收敛。77=1nPn811四研究级数y（-ir丄（i+丄）"的绝对收敛或条件收敛性。（io分）負3nn四、（本题10分）p•2判断级数z（-l）w^-^{5-arctann}是绝对收敛还是条件收敛?n=l兀使用Dirichlet判别法和Abel判别法判断函数项级数的一致收敛性三、（本题满分10分）a1确定函数/（x）=y（-i）w丄的定义域及其

2、在定义域上的连续性和可微性。心nxy"°◎+x）arctan/ly在［0,+x）上的一致收敛性例.讨论“21"（1+*）通过内闭一致收敛性验证和函数的连续性和可微性1.证明函数项级数/（x）=Y^-e~x2n2在（0,oo）不一致收敛，但是和函数/'（兀）在（0,oo）连n=in续.2.证明和函数=1在（-oo,+oo）上连续。h=3k>nIn7?丿3.证明：（1）函数项级数工叱⑷在（o,+oo）上不一致收敛；⑵函数项级数n=lnxe~,lx在（0,+oo）上连续，且可逐项求导.n=l幕级数的收敛域8Z/7=03“+(—2)〃IIOOn=lxnS+2)3"幕级数的求法1)讨论下面幕级

3、数收敛区间，在此基础上求和函数・OOZ/:=!2n21.求幕级数的收敛域与和函数，并求级数£牛的和。n=ln=02二、(本题满分10分)求幕级数$(-1)"」一的收敛域，并求级数在收敛区“=2咻一1)间内的和函数.2.己知S(x)=》^i£,求S(x)+S(l-x)o求Fourier级数1.假设f(x)=-一,xg10,2k),求f(x)的Fourier级数.22.将函数/W=

4、sinx

5、在［-龙，龙］展开为傅立叶级。813.将函数ZU)=

6、x

7、,XG(-71,兀)展开为Fourier级数，并求级数》的和。心(2n-l)-1,xvO4.(a)将函数f(x)=sgnx=<0,兀=0在(

8、-龙，龙)上展开为Fourier级数。1,x>0(b)利用展开式，求莱布尼兹级数£凹二的和。n=l2/1-1重极限与累次极限的计算及其关系1)求二元函数/(x,y)=—I在(0,0)点的两个累次极限和重极限。x+y2)求函数/U,y)=V^sin-+V7sin-在点(0，°)处的重极限和两个累次极限.多元函数在一点处连续性，可微性，与偏导数存在性之间的关系2斗差，(兀，刃H(0,0)1.假设/(x,y)=

9、0,0)的连续性；(2)求函数在点(0,0)的偏导数；(3)讨论函数在点(0,0)可微性。讨论函数/(x,y)='COS1g)主(0,0)在(0,0)点的连续性、可偏导性和Q+y北°在原点(o,o)处的连续性、可偏x2+y2=0在原点(0,0)处的连续性、可偏导性和可微(料)=00,(xj)=(0,0)可微性。兀*,

10、A)，1.讨论函数/(x)=*%)x证明方程FO+z",y+/)=0所确定的隐函数z二z(x,y)满足方程+y40,导性和可微性.9兀y5.讨论函数.f(x,y)=

11、)=F(x,兀yz,x3yz2),求ux.uxy;2)假设方程组严也；~：求典学[2yu+x旷=oxdydzdz2.设F(x，x+y,x+y+z)=0,求zx,zy,zxyo求方向导数与梯度1.设f(x,y,z)=x+y2+z求.f在点^(1,1,1)沿方向/:(2-2,1)的方向导数.2.已知f(x9y,z)=xz-y2及点A(2,-1,1)、B(2,1,-1),求函数f(x,y,z)在点A处沿由A到B方向的方向导数，并求此函数在点A处方向导数的最大值。3.已知/(x,y,z)=Zxy-z2及点4(2,-1,1)、B(3,1,-1),求函数f(x,y,z)在点A处沿由A到B方向的

12、方向导数，并求此函数在点A处方向导数的最大值。4.求fO,y,z)=x3yz在A(5,1,2)点沿AB方向的方向导数,这里点A(5,1,2)、B(9,4,14)。用间接法展开Taylor公式1.求函数f(xfy)=sin(x+刃在点(0,0)处Taylor■公式(展到三阶为止)。2.求2=xye(x~+y2)在点(0,0)的泰勒公式(到四阶为止)。求曲线的切线法平面与曲面的切平面法线1.求曲面兀2+2)，+3z2=6在点(1丄1)的切平面方程。兀2++乙2