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1、第四章微分方程4.1方程的分类与解法及结构定理4.1.1一阶，可分离变量方程l一阶变量分离方程l齐次方程令，，4.1.2一阶线性非齐次方程齐次方程通解标准形通解伯努利方程令得4.1.3特殊二阶方程降阶法l微分方程接连积分n次，便得到微分方程的含有n个任意常数的通解。l令则l令则l首次积分方法若则称为方程0的首次积分。这样就把原方程降了一阶。特别地，二阶的就变成一阶方程了。4.1.4二阶（高阶）线性常系数方程1．线性方程解的结构理论定理1（叠加原理）设是齐次方程的解，则它们的线性组合也是齐次方程的解，其中是任意常数
2、。定理2设是非齐次方程的一个解，是对应的齐次方程的解，则也是非齐次方程的解，其中是任意常数。定理3（二阶齐次线性微分方程通解的结构）设和是方程（3）的两个线性无关特解，则（是任意常数）是方程（3）的通解。对于二阶非齐次线性微分方程（4）有如下的定理。定理4（二阶非齐次线性微分方程通解的结构）设是方程（4）的一个特解，和是方程（4）对应的齐次线性方程（3）的两个线性无关解，则(5)是方程（4）的通解。2．齐次方程特征方程综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程的通解的步骤如下：第一步写出微分方程的特征方程第二步求出特
3、征方程的两个根。第三步根据特征方程两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程（3）的通解特征方程的两个根微分方程的通解两个不相等的实根两个相等的实根一对共轭复根对于高阶常系数齐次线性微分方程可以根据下表给出的特征方程的根写出对应齐次线性微分方程的解如下：特征方程的根微分方程通解中的对应项单实根一对单复根k重实根k重复根给出一项给出两项给出k给出k项：项给出2k项：＋3．非齐次方程其通解是其中是对应齐次方程的解，是非齐次方程的解。特解k是特征根的重复次数，特解k是特征根的重复次数。4．欧拉方程令或，则，，…若引入微
4、分算子符号，则上述结果可简记为，…一般地4.2一般题（1）例题例1求的通解,其中为大于零的常数。解:特征方程，特征根，，齐次方程通解，特解形式，其中，故，，，代入原方程,得∴通解例2设非齐次线性微分方程有两个不同的解，，C为任意常数,则该方程的通解是(A)C[-]，(B)+C[-]，(C)C[+]，（D）+C[+]解:选(B)例3设为二阶常系数线性齐次方程的两个特解，则由与能够成该方程的通解，其充分条件是（A）（B）（C）（D）解：由（B）可知，即，故，可知线性无关。例4求方程的特解形式。解:,,所以例5在下列微
5、分方程中,以，，为任意常数)为通解的是()。(A)(B)（C）（D）解：选(D)例6设二阶常系数线性微分方程的一个特解为求及其通解。解法1：由可知特征根故特征方程为，从而，将代入原方程，得，通解为解法2：将代入原方程得故所以例7设，其中满足，且.，求解：即，解得例8．设对于任意实数s和t，有，且，求。解:令故，代入初值，得，例9设，其中是连续函数，求解：，，又，，，，带入原方程得，，带入初值得例10．设有方程，大于零常数,试用变换将方程化简并求解。解：代入原方程,并整理：，解得:，再用代回即可。例11求解微分方程
6、组。（工科微积分不用做，工科数学分析做）解：特征方程：，令，从而，，从而通解为(二)练习l．设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解，为任意常数,则该方程通解是（A）（B）（C）（D）（D）2.已知，，是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,求此微分方程。（）3.求满足的可微函数（）4.设函数在上可导，，且满足等式,(1)求；(2)证明时,成立不等式:。（）4.3、微分方程的应用(一)例题例1曲线过点(1,1)其且上任一点处的切线在轴上的截距等于同一点处法线在轴上截距,求曲线方程。解:设曲线方程，为曲线上任一点,切
7、线方程:，切线在y轴上截距为，法线方程:，法线在x轴上截距为，故方程为：，即解得,通解为，特解例2设是一条平面曲线，其上任意一点到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在轴上的截距，且L经过点。（1）试求曲线L的方程；（2）求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线于L以及两坐标轴所围图形的面积最小。解（1）依题意，设曲线L过点的切线方程为令X=0，则得该切线在轴上的截距为由题设知，令，则方程化简为，解得。由L经过点，得，于是L的方程为即（2）设第一象限内曲线在点处的切线方程为即，它与轴及轴的交点分别为与，故所求面积为
8、对求导，得令，解得当时，；时，，因而是在内的惟一极小值点，即最小值点，于是所求切线为即例3一质量为的物体,由静止开始下落,已知空气阻力与下落速度成正比,比例系数为，（1）求速度函数与路程函数:(2)求极限速度;(3)求路程与速度之间的函数关系。解:(1)由牛顿第二定律,得即，即解得：，；（2）极限速度；（3）由得解得例4容器内有100L的盐水，含10kg的盐，现以3L/m
