工科数学分析ii期末复习提纲

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1、《工科数学分析II》期末考试复习提纲第16章重积分二重积分、三重积分的定义以及性质；重积分的计算方法：化为累次积分或换元法；重积分的物理应用：计算重心坐标、转动惯量以及万有引力。重点：1、正确交换积分顺序；2、灵活选择换元变量。第10、13题为典型题。典型例题1.计算二重积分，其中，.解：将重积分化为累次积分即可。2.通过交换积分次序计算累次积分(1),(2).解：可用作图法或不等式法交换积分顺序。例，等价于。3.计算二重积分,,其中.提示：关于y轴的对称性。见223页注。4.通过换元计算椭圆盘的面积.(其中)提示：单位特征向量是一组标准正交基。

2、5.计算二重积分,.6.计算二重积分,其中.提示：x=arcosθ,y=brsinθ。7.计算二重积分,其中.提示：u=x-y,v=x+y。1.计算二重积分,其中由所围而成。提示：u=x2-y2,v=xy。2.设为一连续函数,求极限.提示：216页积分中值定理。3.计算三重积分,其中由曲面所围而成.解：积分区域由如下不等式确定：-1≤x≤1,x2≤y≤1,0≤z≤x2+y2。称它为一个x-y-z型区域，即先对z积分，再对y，最后对x。以此顺序则表达式最为简洁。4.计算三重积分，其中为椭球。参考第6题。5.计算三重积分，其中为椭球.提示：积分区间关

3、于xy平面对称，积分函数是z的奇函数，因此积分为0。6.计算三重积分，其中由曲面，，所围而成。提示：积分区域及函数是xy-z型区域，即先在圆盘上重积分（不妨用极坐标），再对z积分。7.计算三重积分，其中由曲面和曲面围成。提示：同上，对z积分时注意分段。8.设密度为1的平面薄板由,与轴围成，求它绕轴旋转的转动惯量。9.设薄片所占的闭区域是介于两个圆之间的闭区域，求均匀薄片的重心.10.求密度为1的均匀球锥体（即锥体被球面截下的部分）对于在其顶点为以单位质量的质点的吸引力，设球的半径为，而轴截面的扇形的角等于.第17章，向量场的曲线积分与Green公

4、式第一型曲线积分的概念，性质与计算，第二型曲线积分的概念，性质与计算，Green公式，积分与路径无关的四个等价条件，判断全微分并求其原函数，曲线积分的物理应用。全微分求原函数以7-12题为例。典型例题1．求第一型曲线积分，其中为曲线，().见262页。第3、5题同理。2．求第一型曲线积分，其中为双扭线.解：双扭线的极坐标方程为r2=acos2θ，因此ds=√(asec2θ)dθ。利用对称性，原式=40π/4asinθdθ。3．求第一形曲线积分，其中为旋轮线的一拱.4．求螺线（）对轴的转动惯量.5．求第二型曲线积分，其中曲线为依参数增加的方向行进的

5、曲线（）.6．计算,为球面片，，，的边界，方向是从到到再回到.提示：由对称性，原式=3=3=67．计算曲线积分，其中为由点至点的上半圆周.提示：是全微分；可用极坐标求出。1．计算第二型曲线积分，其中为一条包围原点的曲线.提示：是全微分；答案为。2．利用格林公式计算星形线所围区域的面积。解：（重要公式）2dxdy=-ydx+xdy。再代入x=acos3t,y=asin3t。3．计算第二型曲线积分.提示：是全微分。4．计算第二型曲线积分.解：全微分求原函数：先将积分得，再看中哪些项与x无关。5．求原函数.解：同上。第18章，向量场的曲面积分与场论初步

6、第一型曲面积分的概念，性质与计算，第二型曲面积分的概念，性质与计算，Gauss公式，Stokes公式，积分与路径无关的四个等价条件，判断全微分并求其原函数。梯度场，散度场，旋度场的概念以及保守场、有势场及无旋场之间的关系。重要公式：291页（18.2.3），隐函数情形见例题1。典型例题1．计算,其中为椭球面.解：，原式化为，再用极坐标变换。1．计算，其中为圆锥面被截下来的那一部分.解：。2．计算第二型曲面积分，其中是球面的上半部分，取上侧.解：建议将底面补全再用Gauss公式。3．计算,其中为连续函数,为平面在第四卦限部分,取下侧.4．使用高斯公

7、式计算，其中为球面,取外侧.提示：Gauss公式后再利用对称性。5．使用高斯公式计算，其中为曲面（）,曲面的法向量与轴正方向成锐角.解：计算出后再用Gauss公式，其中，此时。6．使用Stokes公式计算，其中是球面与平面的交线，从轴正向看去，是逆时针方向.解：考虑曲面，x+y+z≥0，以外侧为正方向。它的边界从x轴正向看去是顺时针。由Stokes公式将其化为dxdy+dydz+dzdx，由对称性得原式即3dxdy。将半球投影到xy平面得一椭圆，椭圆面积为dxdy=πa2/√3。因此结果为πa2√3。7．使用Stokes公式计算，其中是平面与柱面

8、的交线.解：Stokes公式后，不妨再作坐标变换u=x-y,v=x+y。8．计算.提示：此为全微分。9．求全微分的原函数.10．求向量场