工科数学分析.doc

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1、一•填空题1.(arctanY=i+71-x23.己知XT0时，(1+6ZX2)3-1与COSX-1是等价无穷小，则G二.X4.lim(cosj^)”=.xtO+O°a—bxjx<05.设/(x)=sin/?x在x=0处具有二阶导数b>0,贝ij(a9b)=.-,x>0兀6曲线y=x3+处与=bx2+c在点(-1,0)相切，求d=.27曲线y=e~x~的上凸区间为.8曲线y=x(e+-)(x>0)的渐近线方程为.二.选择题1•关于函数/(x)=limVl+x2n正确的是()"T8(A)除两个第一类间断点外处处连续可导.(B

2、)在(-oo,+oo)上连续，仅有一个不可导点.(C)在(-00,4-00)上连续，仅有两个不可导点.(D)处处可导.2.设对任意的实数兀有/(1+劝=妙⑴，且/)=b,其a力中为非零常数，则()伽/(小)7⑴“m呱)5(。)讹)xtOxxtOx(A)/(兀)在x=l可导，3.f\)=a.(B)/(兀)在兀=1可导，且/^l)-b.(C)/(x)在x=l可导，Rf\)=ah.(D)/(x)在x=l不一定可导.3.设y=/(x)满足/-2/+4y=0,且/(x0)>0,fxQ)=O,则/(%)在兀。处()(A)取得极大

3、值.(B)取得极小值.(C)某邻域内单调递增.(D)某邻域内单调递减.4.设/(兀)连续，且厂(0)〉0,则存在5>0,使得()(A)/⑴在(0』)内单增.(B)/(兀)在(一§0)内单减(C)对Vxg(0,J)有/(x)>/(0).(D)对Vxg(-^,0)有/(%)>/(0).5•关于/(x)=

4、2+a(x-a)2,f(x)0,所以(0,/(0))也不是拐点。广(0)=0,/(劝=/(0)+弓52兀，所以由/(兀)=/(0)=弓52兀，得到/(o)不是/(兀)的极值(A)(0J(0))是曲线y=f(x)的拐点•(B)/(0)是/(兀)的极小值.(C)/(0)是/(兀)的极大值.(D)/(0)不是极值，(0,/(0))也

5、不是拐点.8.在［0,1］上fx)>0,则()广(x)是增函数，/⑴―/(0)=广忆)，八O)vf©v广(1),所以广(O)v/(l)—/(O)v.广⑴(A)r(i)>/(0)-/(1)>r(o).(B)/(i)-/(o)>/,(i)>r(o).(or(i)>r(o)>/(i)-/(o)./(i)-/(o)>r(o).三.解答题x2,l+］+ax2+hx1•设/(x)=lim-——在(-oo.+oo)处处连续，求⑦b并且判断此时函数的可导性HT8工」+12•设lim丄⑴=1且fx)>0,证明/(x)>x./

6、(x)=x^ax=x^o(x),另夕卜，/(x)=x+-——;—x>x3.设/(兀)在⑺"］上连续，在(⑦历内有二阶连续导数，证明：至少m—个使m-2/（字）+/⑷=厂©•弘）=佇）+/佇）（七）+£^2（七）2他»（字）+八罟）（-字）+£^1—字）2/（d）+/@）=2/（字）+!@-°）2（厂©）+厂忆））"/（丁）+；@-°）2（厂©）2o244.设/⑴在［0,x］U>0)上连续，在(0,无)内可导，且/(0)=0,证明：存在G(0,X)使/(x)=(1+f)ln(l+x)/'©.用柯西中值5.设/(兀)在［0,1］上

7、二阶可导，且/(0)=/(1)=0,证明：至少存在一点fw(0,l)使厂©=2止）由罗尔定理，广（c）=0,Ovcvl在［c,l］上考虑F（x）=（1-x）2/,（x）,存在兵（c,l）u（0,1）,F©=0F（兀）=（1一劝2厂⑴一2（1-兀）广⑴=（1一0（（1-兀）广©）_2广⑴）7TJTJT2-k,fx）=1——cosx,有唯一兀o=arccos—使得f（兀。）=0,当2717•就k的不同取值，讨论方程x——sinx=Zr在开区间（0，一）内根的个数.22/（%）=%-—sin，：、'、',7122x

8、,fxl；当xQ广>0,/T,A：。是极小。f（x（））=x（）-—sinx（）-k,2注意/（o）=u,=所以,222当£>(),无根:当（0>）a：0-—sin%0>k,无根；2当x0-—sinx0<<0,有2个跟;&设/⑴在［0,1］上连续,在(0,1)内可导,f