工科数学分析学习资料大全

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1、第一章函数与极限函数和极限都是高等数学中最重要、最基木的概念，极值方法是最基木的方法，一切内容都将从这二者开始。§1、函数一、集合、常量与变量1、集合：集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。通常用大写字母A、B、C……等来表示，组成集合的各个事物称为该集合的元素。若事物a是集合M的一个元素，就记awM(读a属于M)；若事物a不是集合M的一个元素，就记M或awM(读a不属于M)；集合有时也简称为集。注1：若一集合只有有限个元素，就称为有限集；否则称为无限集。2：集合的表不方法：⑴、若集合为有限集，就可用列举出其全体元素的方法来表示，如：A={1,2,3,……,10},B={

2、一只猫，一只狗，一只鸡};(“)、对无限集，若知道其元素的规律，也可类似写出，女山A={1,2,3,……}为全体自然数集，B={2,4,6,……}为全体偶数集；枚举法(加)、列不出全体元素或找不到元素规律的集合，若知其元素有某种性质，那么该集合可表示为：A二制兀所具有的某种性质},即：有此性质的必在A中，且A中的元素必须有此性质。如I：4={«4?+5_?+7兀+3=0}；B={xx^J我校的学生}；C={(s)

3、点(兀,y)在£)中}等。3：全体自然数集记为N,全体整数的集合记为乙全体有理数的集合记为Q,全体实数的集合记为Ro以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集。4：

4、集合间的基本关系：若集合A的元素都是集合B的元素，即若有兀u4,必有xeB,就称A为B的子集，记为AuB,或读B包含A)。显然：NuZuQuR.若Au3,同时BuA,就称A、B相等，记为A=E。5：当集合中的元素重复时,重复的元素只算一次.如:{1,2,2,3}={1,2,3}。6：不含任何元素的集称为空集，记为{x

5、x2+1=0,xg/?}=O,{x:2x=-1}=0),空集是任何集合的子集，即①uA。7：区间：所有大于a、小于b(a

6、a

7、)={xa

8、y》｝称为点a的》邻域，记为为该邻域的屮心，5为该邻域的半径，事实上，Ua6=｛也一6y兀yq+/｝=(a-5,°+/)。同理：我们称U(a,3)=｛x

9、0Yx-ay力｝为a的去心》邻域，或

10、a的空心》邻域。9：集合的内容很多，其它内容(如集合的运算)在此不作一一介绍了。2、常量与变量：在自然科学中，我们会遇到各种不同的量，然而在观察这些量时，发现有着非常不同的状态，有的量在过程中不起变化，保持一定的数值，此量称为常量；乂有些量有变化，可取各种不同的数值，这种量称为变量。【例】掷同一铅球数次，发现铅球的质量、体积为常量，而投掷距离、上抛角度、用力大小均为变量。注1：常量与变量是相对而言的，同一量在不同场合下，可能是常量，也可能是变量，如在一天或在一年中观察某小孩的身高；从小范围和大范围而言，重力加速度可是常量和变量，然而，一旦环境确定了，同一量不能既为常量乂为变量

11、，二者必居其一。2：常量一般用a,b,c……等字母表示，变量用x,y,u,t……等字母表示，常量a为一定值，在数轴上可用定点表示，变量x代表该量可能取的任一值，在数轴上可用动点表示,如：XE(d,/?)表示兀可代表(。上)中的任一个数。二、函数的概念【例】正方形的边长兀与面积S之间的关系为：S=F，显然当X确定了，S也就确定了。这就是说，同一过程中变量之间往往存在着某种内在的联系。它们在遵循某一规律时相互联系、相互约束着。定义：设兀和y为两个变量，，D为一个给定的数集，如果对每一个xeD,按照一定的法则/变量y总有确定的数值与之对应，就称y为兀的函数，记为)/(兀).数集D称

12、为该函数的定义域，x叫做自变量，y叫做因变量。当兀取数值x()gD时，依法则/的对应值称为函数y=/(X)在x=时的函数值。所有函数值组成的集合W=｛y

13、y=D｝称为函数y=f(x)的值域。注1：函数通常还可用y=g(x)9y=F(x)9s=u⑴等表示。2：约定：函数的定义域就是自变量所能取的，使算式有意义的一切实数值的全体。【例1】y二sinx的定义域为(-oo,+oo),值域为［-1,1］oX2OyxSI【例3】y=<+x=O的定义域为［-1,1］,值域为［0,2］o—x—15兀yO【例4】/(X