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《迎春杯小学数学五年级讲义第四讲数论教师版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第四讲数论综合数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而H.冇着强大的生命力。数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验屮归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生，如能把当今任何一本数论教材屮的习题做出，就应当受到鼓励,并劝他将来从事数学方面的工作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比垂。知识概要®整除问题整除是我们很早接触的一个概念，对于它的性质我们也比较熟悉，不过它在题目表现出来的很大的灵活性和很强的技巧
2、性，仍然是值得我们不断学习和思考的.下面我们先冋顾一下相关知识：1.整除的概念a,b,c为整数，且6H0,如果二c,即整数a除以整数b,得到的商是整数cH没冇余数，那么称作n能被b整除，或者是说b能整除a,记作6I否则,称为a不能被b整除，或是说b不能整除n.如果整数a能够被整数b整除，则a叫做b的倍数，b叫做8的约数.2.整除的基本性质1.如果a,b都能够被c整除，那么它们的和与差也能够被c整除.即：如果cIa,c
3、6,那么c
4、（a±b）2.如果b与c的积能整除a,那么b与c都能整除a.即：如果％
5、。,那么ba^ca3.如果c能整除b,b能整除
6、a,那么c能整除a.BP：如果cb,bay那么cId4.如果b,c都能够整除，且b与c互质，那么b与c的乘积能整除a.BP：bIa,c
7、a,且（6,c）=1,则feeia3.数的整除特征1.能被2整除的数的特征：个位数字是0,2,4,6,8；2.能被3（或9）整除的数的特征：各位的数字之和能够被3（或9）整除；3.能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能够被4（或25）整除；4.能被5整除的数的特征：个位数字是0或5；5.能被7（或11、13）整除的数的特征：一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的数Z差能够被7（或1、11、13）整除；6.
8、能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能够被8（或125）整除；7.能被11整除的数的特征：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能够被11整除.1.质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，那么这个数叫做质数•比如2,3,7,37,-.一个数除了1和它本身，还有别的约数，那么这个数是合数.比如4,8,14,48,••・.特别的：1既不是质数也不是合数.2.质因数与分解质因数（算术基本定理）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.比如：把42分解质因数应该是42
9、二2X3X7,其中2,3,7是42的质因数.又如：54=2x3?，其中2和3都是54的质因数.1.利用分解质因数求约数的个数一般地，如果分解质因数有下列形式：時・・・必・其屮。
10、,町…厲都是质因数,而久，4,是指数，即对应A包含各个质因数的个数.1)那么A的所有约数的个数为3+1)(®+1)…(亿+1)•比如：300=22x3x52,那么300的所有约数共有(2+1)(1+1)(2+1)=18个.2)那么A的所冇约数的和为ab=[a,b)[a,b•约数与倍数约数•倍数的关系很简单，其实就是整除关系的另外一种称谓；当然也有概念的延伸,就是在多个数之间
11、去研究公约数和公倍数，经常地应用最大公约数与最小公倍数解题.下血我们就先回顾基本的概念：1.公约数与最大公约数儿个数公冇的约数，叫做这儿个数的公约数；其中最大的一个，叫做这儿个数的最大公约数.例如：12的约数有1,2,3,4,6,12.18的约数有1,2,3,6,9,18那么它们的公约数有1,2,3,6；其中授大公约数为6.2.公倍数与最小公倍数儿个数公有的倍数，叫做这儿个数的公倍数；其中最小的一•个，叫做这儿个数的最小公倍数•例如：15的倍数冇:15,30,45,60,75,90,105,120,….10的倍数冇：10,20,30,40,50,60
12、,70,80。90,….那么它们的公倍数有30,60,90,…是有无穷多个的；而最小公倍数却只有一个，为30.3.互质的概念如果两个数的最人公约数是1,那么这两个数互质.显然的，两个不同的质数一定互质.2.辗转相除法求最大公约数1)分数的计算(M)3.最大公约数与最小公倍数性质bd~血d]—,——ac」(a,c)2)约倍关系ah=(ayh)[a,h]约数与倍数例题1・甲数是36,甲乙两数的最小公倍数是2烫，最大公约数是4,乙数应该是解答：这里考察的是ab=(a,b)*[a,b]这个知识点代入即可算出乙数是32例题2•今有语文课本42册，数学课本11
13、2册，口然课本70册，平均分成若干堆。每堆中这三种课本的数量分别相等，那么绘多可分堆。解答：这是一个求最大公
