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1、议一道数学中考压轴题南宁市北湖北路学校梁彩梅2013年南宇市数学中考压轴题题目如下：如图，抛物线y=ax2+c(a/0)经过C(2,0)、D(0,-l)两点，并与直线y=kx交与A、B线1过点E(0,-2)且平行于x轴，过A、B作直线1的垂线，垂足分别为点M、No(1)求抛物线的解析式；⑵求证OA=AM；⑶探究①当k=0时,直线尸kx与x轴重合，求此吋£■+击的值;②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数。下面对题目解法和考查的知识点谈谈一些看法。一、对第一个问题的看法“(1)求抛物线的解析式”是常规问题，课木
2、例题习题都有出现，利于考生心里的稳定，树立解题的信心。考查了初中数学重要的待定系数法，计算中所列的二元一次方程组也比较简单，符合课标要求“降低计算难度”。二、对第二个问题的看法“(2)求证OA=AM”，虽然结论常规，但解法却不是教材和课标要求的通法，要考虑到平面直角坐标系中两点间的距离公式，或用点的坐标表示线段的长度再用勾股定理，用我们数学的术语就是“解析几何法”，此法初中数学并没有作为重要方法介绍,但它是高中数学的重要知识,作为选拔性的题目呈现也在情理之中。解法分析：设A(x,kx),则有kx=*x2-l(1)
3、AM=kx+2(2)OA=+(闵2上述三个式子体现了符号意识，考查学生用符号进行运算和推理的目的，同时利用几何图形来研究代数问题考查数形结合思想。课标中明确指出“运算能力主要指能够根据法则和运算律正确的进行运算”、“符号意识是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到一般的结论具有一般性”。如何把三个式子进行变形得到AM=AO,却是一个技巧性较强的过程。如果用常规的代人法，扌巴（1）代人（2）、（3）人心宀+2=
4、x2+lAO二j/+（A-1）2二J/+（丄兀2）2丄兀
5、2+1J丄/+丄兀2+1/（丄兀2+1）2=丄兀2十］V4v42V162V44AO式子所进行的运算用到完全平方公式和配方法，字母的运算和式子的多次变形，在有限的考试时间内完成，平时耍作大量的训练才能准确。解题的另一个思路：由于（3）式涉及算术平方根，可以先求AM?和A0?再比较,AM2=4+4kx+k2x2,AO2=x2+k2x2,（1）式化为4kx=x2-4,代入（2）、（3）得:AM2=4+4kx+k2x2=4+x2-4+k2x2=x2+k2x2=A02。两种思路的垂点成了繁杂的计算。另外，作为中考的压轴题，
6、应呈现一题多解的情况，考查学生的开放性思维，本小问只有用“解析儿何法”，无法用初中等腰三角形、特殊四边形等重要的知识点，也是一点缺憾。三、对第三个问题的看法“（3）①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求此时-的值”。这时变成图形位置的特殊情形，所求表达式虽然复杂，但只要能正确画出图形，AM、BN的值很容易计算出来。体现探究问题“从特殊到一般”数学思想，很好考查学牛数学素养,课标中指出“当有一天学生离开数学题后，他还能用数学思想方法去处理在非数学领域遇到的问题”，命题人员很好的运用了课标核心思想。解法分析：（3）
7、①当k=0时,A、B都在x轴上,AM=BN=2,存击=1，也可用第二问的结论AM=AO=2,BN=BO=2。如果考生想到用（2）的结论来解决，“探究AM+BN的值是一个常数”解题思路就明确了,反过来乂体现了特殊性中隐含的一般性。111111解法分析：（3）②把转化为=I22^/?'AMBNAOBO石2】十厲石+,21z11、但接下来的运算又是一个难题，要用y=kx代人得了存（丘j+离），这吋要考虑到西、X2是方程kx=tx»l的两个根，利用兀］+兀2=4仁西•兀2=-4才能进行化简，丄+_L=/I+/1「厂1（1
8、I1）=1同+囘AOBO&22+）“2J1+/卜11
9、兀2〔Jl+疋卜］兀2=1
10、对+1兀2〔71+F4'计算卜1
11、+
12、兀2〔又是一道难关，先计算（I对+1兀2〔）2=（x!+X2）2-2xjX2+2
13、^
14、^2
15、,这里完全脱离了课标和教材，远离初中的内容而重在计算的技巧，本人觉得不妥，令初中老师的教学导向产生模糊。总之，这道南宁市2013年数学中考压轴题，综合考查了初中的数形结合思想、运动变化思想、整体代人思想，从特殊到一般，再从一般到特殊的思维方式，综合运用知识解决问题的方法，数学符号意识。明显不足是：解题策略
16、单一；不符合课标“降低运算的复杂性、技巧性”、“二次根号下仅限于数”、“选学内容不作为考查”。希望中考题能为我们一线的初中教师良好的导向，为高中输送既具有扎实基础知识，又具有综合分析能力、开放思维和创新意识的学生。本文2013年12月发表于《中学数学研究》第12期
