概率论参数估计

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1、参数估计1第七章作业：P1347.1，7.2，7.6，7.9，7.107.13，7.16，7.17，7.19，7.20，7.21数理统计问题：如何选取样本来对总体的种种统计特征作出判断。参数估计问题：知道随机变量（总体）的分布类型，但确切的形式不知道，根据样本来估计总体的参数，这类问题称为参数估计。参数估计的类型——点估计、区间估计2内容提要概述参数的点估计矩法估计极大似然估计估计量优劣性的评价参数的区间估计3参数的估计量和估计值设总体的分布函数为F(x,)（未知），X1，X2，…，Xn为样本，构造一个统计量来估计参数

2、，则称为参数的估计量。将样本观测值代入，得到的值称为参数的估计值。4估计量是某些特殊的统计量，但统计量不一定是某个参数的估计量。每次取样不同，观测值也不同，统计量的统计值也不同，所以估计量也是随机变量，我们用大写字母表示。而固定某次观测的估计值才是一个固定的数字。点估计：如果构造一个统计量来作为参数的估计量，则称为参数的点估计。区间估计：如果构造两个统计量而用来作为参数可能取值范围的估计，称为参数的区间估计。5参数的点估计矩法，极大似然法6定义设为随机变量，若存在，则称为的阶原点矩，记作；若存在，则称为的阶中心

3、矩，记作样本的阶原点矩，记作样本的阶中心矩，记作阶矩的概念7矩法估计：用样本的矩作为总体矩的估计量矩估计的想法来源于大数定理。如果总体X存在k阶矩，对任意有这说明，当样本容量较大时，样本k阶矩与总体k阶矩差别很小。不仅仅是矩法估计，所有统计方法的中心思想都一致：用部分推断整体，但是当部分足够大时，根据大数定理，所做的推断越来越接近真实值。8例：长期的生产经验告诉我们，水泥厂成品打包机装袋的重量X服从正态分布，试用矩法估计来估计一台打包机装袋重量的均值和方差。解：设装袋的重量为随机变量X，即总体为X~N(μ,σ2)。观测50次

4、，即取X1，X2，……X50个样本，样本容量50此时，要估计参数，就转化为估计随机变量的矩计算样本的期望和方差9根据大数定理，样本的矩和总体的矩应当非常接近假若样本有观测值x1，x2，……x50,代入统计量中，有统计值：此时，为两个统计量用他们来估计μ和σ2用样本的原点矩估计总体的原点矩，样本的中心距估计总体的中心矩简便起见，代入具体观测值的过程可以省略，只要明确写出用哪些统计量来估计相应的参数即可10一般而言，并不是每个统计问题中的分布都如正态分布：很多时候参数并没有直接的概率意义。所以想要直接构造估计量来估计参数是不现实

5、的。引例：求a，b的估计。有没有一般的办法来构造估计量？曲线救国：不能直接构造参数的估计量，可以先估计总体的各阶矩，进而通过求解方程得到参数的估计量。11解：例：总体求a，b的矩估计。a,b是均匀分布的两个参数假设取样n次，先写出总体，样本，统计量，并按照矩法写出估计量总体：X样本：接下来是矩法的标准步骤：12注意：熟练之后可以略去写出总体和样本的过程。第一步：计算一阶原点矩和二阶中心矩第二步：用样本的矩作为总体矩的统计量即：第三步：求解方程组中的参数13一般步骤若总体X的分布函数中含有l个参数1，2，…，l，要估计l

6、个参数，我们需要l个统计量及l个相应的方程。我们以原点矩为例说明：（1）求出总体的各阶矩，作为被统计量14得l个方程构成的方程组：（2）用样本的矩作为总体矩的统计量（3）求解方程组中的参数从而为的矩估计量第(2)步和第(3)步的次序可以对换；涉及中心距的参数也可类似求解15例：解：一个参数，只要一个矩即可。与参数θ无关。可先求解参数选最简单的矩：16再代入样本对应的矩并不是标准的矩法，而是某种推广了的矩法估计；以后遇到密度函数为偶函数的情形均可这样处理。有无其他方法？注意：17例：设X1，X2，…，Xn为总体X~Pois(λ

7、)的样本，试求参数的矩法估计量。解：仅有一个参数，只需要做一个矩法估计。此时参数恰为分布的期望，所以可以直接用样本均值来估计，省去了求解方程这一步。考虑一阶原点矩参数本身为分布的数字特征，不需求解方程，直接利用样本的统计量来估计分布的数字特征，进而得到参数估计的办法也叫数字特征法，是矩法的特例。18矩法估计能用低阶矩就不用高阶矩可见：同一个参数的矩估计量可以不同。得到矩法估计量考虑泊松分布的二阶中心矩使用哪个更好一些？之后会系统地介绍估计量优劣的评价，届时再展开讨论思考一下，是否有其他求解的办法？19解由于所以由矩法估计，

8、得解得所以，参数的矩估计量为例对容量为n的样本，求下列密度函数中参数的矩估计量。20参数的极大似然估计法思想：设总体X的密度函数为f(x,)，为未知参数，则样本（X1,X2,…,Xn）的联合密度函数为令参数的估计量，使得样本（X1,X2,…,Xn）落在观测值上的概率L()达到最大，