资源描述：
《概率论与数理统计参数估计》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第六章参数估计在实际问题中,当所研究的总体分布类型已知,但分布中含有一个或多个未知参数时,如何根据样本来估计未知参数，这就是参数估计问题.参数估计问题分为点估计问题与区间估计问题两类.所谓点估计就是用某一个函数值作为总体未知参数的估计值；区间估计就是对于未知参数给出一个范围，并且在一定的可靠度下使这个范围包含未知参数.例如,灯泡的寿命X是一个总体,根据实际经验知道,X服从,但对每一批灯泡而言,参数是未知的,要写出具体的分布函数,就必须确定出参数.此类问题就属于参数估计问题.参数估计问题的一般提法:设有一个统计总体,总体的分布
2、函数为,其中为未知参数(可以是向量).现从该总体中随机地抽样,得一样本,再依据该样本对参数作出估计,或估计参数的某已知函数第一节点估计问题概述内容分布图示★引言★点估计的概念★例1★评价估计量的标准★无偏性★例2★例3★有效性★例4★例5★例6★相合性★例7★例8★内容小结★课堂练习★习题6-1★返回内容要点：一、点估计的概念设是取自总体X的一个样本,是相应的一个样本值.是总体分布中的未知参数,为估计未知参数,需构造一个适当的统计量然后用其观察值来估计的值.称为的估计量.称为的估计值.在不致混淆的情况下,估计量与估计值统称为
3、点估计,简称为估计,并简记为.注:估计量是一个随机变量,是样本的函数，即是一个统计量,对不同的样本值,的估计值一般是不同的.二、评价估计量的标准从例1可见,参数点估计的概念相当宽松,对同一参数,可用不同的方法来估计,因而得到不同的估计量,故有必要建立一些评价估计量好坏的标准.估计量的评价一般有三条标准:1.无偏性;2.有效性;3.相合性（一致性）.在本节的后面将逐一介绍之.在具体介绍估计量的评价标准之前,需指出:评价一个估计量的好坏,不能仅仅依据一次试验的结果,而必须由多次试验结果来衡量.因为估计量是样本的函数,是随机变量.
4、故由不同的观测结果,就会求得不同的参数估计值.因此一个好的估计,应在多次重复试验中体现出其优良性.1．无偏性估计量是随机变量,对于不同的样本值会得到不同的估计值.一个自然的要求是希望估计值在未知参数真值的附近,不要偏高也不要偏低.由此引入无偏性标准.定义1设是未知参数的估计量,若则称为的无偏估计量.注:无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求,其实际意义是指估计量没有系统偏差，只有随机偏差.在科学技术中,称为用估计而产生的系统误差.例如,用样本均值作为总体均值的估计时,虽无法说明一次估计所产生的偏差,但这种偏差随机地在0的周围
5、波动,对同一统计问题大量重要使用不会产生系统偏差.对一般总体而言，我们有定理1设为取自总体X的样本,总体X的均值为,方差为.则(1)样本均值是的无偏估计量;(2)样本方差是的无偏估计量;(3)样本二阶中心矩是的有偏估计量.2．有效性一个参数常有多个无偏估计量,在这些估计量中,自然应选用对的偏离程度较小的为好,即一个较好的估计量的方差应该较小.由此引入评选估计量的另一标准—有效性.定义2设和都是参数的无偏估计量,若,则称较有效.注:在数理统计中常用到最小方差无偏估计,其定义如下:设是取自总体X的一个样本,是未知参数的一个估计量
6、,若满足:(1)即为的无偏估计;(2)是的任一无偏估计.则称为的最小方差无偏估计(也称最佳无偏估计).3．相合性(一致性)我们不仅希望一个估计量是无偏的,并且具有较小的方差,还希望当样本容量无限增大时,估计量能在某种意义下任意接近未知参数的真值,由此引入相合性(一致性)的评价标准.定义3设为未知参数的估计量,若依概率收敛于,即对任意,有或则称为的(弱)相合估计量.例题选讲：点估计的概念例1（讲义例1）设X表示某种型号的电子元件的寿命(以小时计)，它服从指数分布：为未知参数,.现得样本值为168,130,169,143,174
7、,198,108,212,252,试估计未知参数.评价估计量的标准例2（讲义例2）设总体,是来自这一总体的样本.(1)证明是的无偏估计;(2)求例3（讲义例3）设是总体的一个简单随机样本.求使为的无偏估计.例4（讲义例4）设为来自总体X的样本,,均为总体均值的无偏估计量,问哪一个估计量有效?例5（讲义例5）设总体X在区间上服从均匀分布,是取自总体X的简单随机样本,求常数使均为的无偏估计,并比较其有效性.例6（讲义例6）设分别自总体和中抽取容量为的两独立样本.其样本方差分别为.试证,对于任意常数都是的无偏估计,并确定常数使达到
8、最小.例7（讲义例7）设是取自总体X的样本,且存在,则为的相合估计量,例8（讲义例8）设总体,为其样本.试证样本方差是的相合估计量.课堂练习1.设总体X的k阶矩存在,又设是X的一个样本.试证明不论总体服从什么分布,k阶样本矩是k阶总体矩的无偏估计量.2．证明本节例5中均为的相合性估计.第二
