概率论与数理统计课件 参数估计

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1、CH7参数估计引言TextinhereTextinhere统计推断问题参数估计问题假设检验问题点估计区间估计矩估计极大似然估计点估计就是用某一个函数值作为总体未知参数的估计值;区间估计就是对于未知参数给出一个范围,并在一定的可靠度下使这个范围包含未知参数的真值.设总体X的分布类型已知,但分布函数中含一个或多个未知参数,借助于总体X的一个样本,来估计未知参数的值的问题,称为参数估计问题.点估计XP(),=EX.自然想到,用样本均值估计总体均值.现有已知数据,计算样本均值,得=1.22,XP(1.22).例某炸药厂,记一天中发生火灾的次数为X,假设X服从参数为的泊松分布.试用

2、有以下的样本值估计未知参数的值.着火的次数0123456发生k次火灾的天数75905422621=250点估计问题的一般提法设已知XF(x,),是待估参数.X1,X2,...,Xn是来自总体X的一个样本,对应的样本值是x1,x2,...,xn.点估计问题就是要构造一个适当的统计量用它的观察值来估计未知参数.估计量估计值估计例矩估计基本思想:用样本矩代替总体矩,估计未知参数.总体X(p85)k阶矩k阶中心矩样本k阶矩样本k阶中心矩样本X1,X2,...,Xn理论依据:大数定律期望是1阶矩方差是2阶中心距矩估计求出总体k阶矩(有几个未知参数就算到几阶)总体X为连续型,其概率密度为

3、f(x,1,2,...,k),总体X为离散型,其分布律为p(x,1,2,...,k),让总体k阶矩=对应的样本k阶矩解方程组,求出未知参数例7.1求总体X的均值和方差2的矩估计矩估计量矩估计矩估计值不论总体的分布如何,样本均值是总体均值的矩估计;样本2阶中心距是总体方差的矩估计.带入样本值x1,x2,...,xn,得例7.2设XU(a,b)求参数a,b的矩估计解得,矩估计量为解得,矩估计值为例7.3设总体X的分布律,求的矩估计x123p(x,)22(1)(1)2例7.4设总体XP(),求的矩估计极大似然估计概率最大的事件最有可能出现设一个随机试验

4、有若干可能结果A,B,C,....若在一次试验中结果A出现,则认为试验条件对A有利,即做试验,A发生的可能性最大.例7.6某车间生产一批产品,要估计次品率p.设随机变量X,X=0表示这件产品是合格品;X=1表示这件产品是次品.则X服从0-1分布,分布律为P{X=x}=px(1p)1x,x=0,1.X1,X2,...,Xn是来自总体X的一个样本,对应的样本值是x1,x2,...,xn.极大似然估计其中xi=0或1,i=1,2,...,n.上式为关于未知参数p的函数,用L(p)表示,称为似然函数.使事件{X1=x1,...,Xn=xn}发生的概率最大,即似然函数L(p)取最大值.我们用使

5、L(p)取最大值的p作为未知参数p的估计值.对数函数lnx是x的单调增函数,lnL(p)与L(p)在同一p值上达到极大值.极大似然估计对p求导,并使导数等于0得关于未知参数p的方程,解方程得,极大似然估计值极大似然估计量极大似然估计极大似然估计离散型总体X的似然函数分布律P{X=x}=p(x;)写出似然函数;取对数;求导连续型总体X的似然函数例7.7设总体XP(),求的极大似然估计例7.8设总体X的分布律,x0123p(x;)22(1)212其中0<<1/2是未知参数,用总体X的样本值3,0,3,1,3,1,2,3求的极大似然估计值.极大似然估计的性质若参数0

6、<<1,则需比较L(1)和L(2)的大小,取函数值较大者,为的极大似然估计值.多个待估参数的情况若分布函数中含有多个未知参数1,2,...,k.这时,似然函数L是这些未知参数的函数,分别令或者先取对数在求导解方程组例7.9设总体XN(,2),样本值x1,x2,...,xk.总体X的密度函数为例7.9设总体XN(,2),样本值x1,x2,...,xk.极大似然估计的性质设为f(x;)中参数的极大似然估计,且函数u=u()具有单值反函数=(u),则是u()的极大似然估计.如例7.9根据以上性质,得标准差的极大似然估计为7.3估计量的评选标准定义7.1无偏

7、性定义7.2有效性定义7.3一致性无偏性例7.11设总体X,若EX=,DX=2,样本X1,X2,...,Xn.证明样本均值和样本方差分别是和2的无偏估计量.无偏性无偏性www.themegallery.comThankYou!