概率论与数理统计第7章参数估计

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1、第7章参数估计7.1参数的点估计7.2参数的区间估计第7章参数估计统计推断是根据样本所提供的信息对总体的特性作出种种推断，参数估计是统计推断的重要问题之一，它是在总体的分布类型已知时，利用观测数据对总体中的未知参数进行估计．本章学习总体参数的两种估计方法，点估计和区间估计．第7章参数估计【装配线的平衡问题】使装配线达到平衡是一项重要的经营管理活动，主要目标是确保不同操作台的操作耗用近似相同的时间．如果装配线不平衡，操作员就会出现有时无事可做，有时忙不过来的现象．结果，产品堆积在费时的操作台上，影响整个装配线的效率．建立装配线，经常要使用各种管理科学工具，常常

2、需要估计各个操作台的平均装配时间，以对装配线进行合理的调整．下面随机记录了某装配线两个操作台各30次的装配时间(单位:分钟)，如何估计操作台的平均装配时间？它们的平均装配时间有无显著差异?X2.271.871.932.251.211.661.641.732.411.952.121.822.091.052.042.272.322.571.952.071.362.181.862.611.242.051.762.112.041.74Y2.962.63.233.863.823.893.543.212.763.442.963.342.674.124.382.752.4

3、53.283.73.473.313.393.353.263.63.542.753.913.193.1【装配线的平衡问题】7.1参数的点估计7.1.1点估计问题的一般提法所谓点估计，就是用来自总体X的观测数据，计算出一个数值（点）来估计总体的未知参数的值．具体说来就是7.1.1点估计问题的一般提法定义7.1设总体X的分布函数F(x；1，2，…，m)的形式已知，但其中含有一个或多个未知参数：1，2，，m，又设X1，X2，…，Xn为总体的一个样本，x1，x2，…，xn是样本观测值，构造的m个统计量：用的观测值作为未知参数i的近似值的方法称为点估计法

4、．7.1.1点估计问题的一般提法称为未知参数i的估计量，称为未知参数i的估计值．在不会混淆的情况下和均可称为i的估计.例如，在“装配线的平衡问题”中，若以X1，X2，…，X30表示一个操作台的30次装配时间，可以选用作为一个操作台装配时间总体均值=E(X)的估计量，这时的估计值是由于估计量是样本的函数，是随机变量，对相同的样本观测值，用不同的估计量得到的参数值的估计值往往不同，因此,如何选取估计量是关键问题,常用的估计方法有矩估计法和极大似然估计法．7.1.1点估计问题的一般提法7.1.2矩估计前面讲到可以用的观测值来估计总体均值=E(X)的值，

5、其实就是用样本的一阶矩来估计总体的一阶矩，由辛钦大数定理，易见其合理性．事实上，根据定理6.2，若总体X的k（k=1，2，…）阶矩k=E(Xk)存在，可用样本k阶矩来近似总体k阶矩，这种用样本矩去估计总体相应矩的方法，即是所谓的矩估计法．一般地，若总体的分布中有m个参数1，2，…，m，显然，如果总体的k阶矩k=E(Xk)存在的话，必依赖这些参数，即若上述关于1,2,…,m的方程组有解，记为按照用样本矩近似总体相应矩的原则，便可得到的估计量i=1,2,…,m,由于A1,A2,…,Am均为样本X1,X2,…,Xn的函数，不妨将上式记为i=1,2,

6、…,m7.1.2矩估计称是的矩估计量，如果样本观测值为x1，x2，…，xn，称观测值为的矩估计值．这里实际上给出了求参数的矩估计的具体做法．7.1.2矩估计【例7.1】设总体X的均值和方差2都存在，但和2均未知，求和2的矩估计量．解：设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，总体X的一阶、二阶矩分别为1=E(X)=2=E(X2)=D(X)+[E(X)]2=2+2由上面两个方程解出待估参数和2：7.1.2矩估计用样本的的一阶、二阶矩A1和A2分别代替总体的一阶、二阶矩1和2，得到和2的矩估计量分别为7.1.2矩估计本例说明和分

7、别为任意总体X的均值和方差的矩估计量，即对任意总体X有：7.1.2矩估计容易得到下面几个常用分布中参数的矩估计：(1)，由于，，所以和2的矩估计量分别为和．(2)，由于，所以(3)，由于，所以(4)X～U(0，b)，由于，所以(5)X～B(m，p)，其中m已知，由于，所以p的矩估计为7.1.2矩估计【例7.2】设一大批产品的合格率是p，每次从中抽出10件进行检验，共抽15次，每次抽出的10件中合格品的个数记录如下，求合格率p的矩估计值．8，8，7，9，7，9，7，8，9，8，8，8，7，9，8解：用Xi表示第i次抽出的10件中合格品的个数，i=1，2，…

8、，15．则可以认为X1，X2，…，X15独立同分布，