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《概率论与数理统计第七章 参数估计概率》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第七章参数估计第一节参数的点估计点估计概念求估计量的方法小结引言上一讲，我们介绍了总体、样本、简单随机样本、统计量和抽样分布的概念，介绍了统计中常用的三大分布，给出了几个重要的抽样分布定理.它们是进一步学习统计推断的基础.现在我们来介绍一类重要的统计推断问题参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数.参数估计估计废品率估计新生儿的体重估计湖中鱼数……估计降雨量在参数估计问题中，假定总体分布形式已知，未知的仅仅是一个或几个参数.这类问题称为参数估计.参数估计问题的一般提法X1,X2,…,Xn要依据该
2、样本对参数作出估计,或估计的某个已知函数.现从该总体抽样，得样本设有一个统计总体,总体的分布函数为F(x,)，其中为未知参数(可以是向量).参数估计点估计区间估计一、点估计概念随机抽查100个婴儿,…得100个体重数据10,7,6,6.5,5,5.2,…而全部信息就由这100个数组成.已知某地区新生婴儿的体重(总体X)未知据此，我们如何估价总体的期望和方差呢？为估计:我们需要构造出适当的样本的函数T(X1,X2,…Xn)，每当有了样本，就代入该函数中算出一个值，用来作为的估计值.把样本值代入T(X1,X2,…Xn)中，估计值.T(
3、X1,X2,…Xn)称为参数的点估计量，得到的一个点11.矩估计法1.矩估计法矩估计法是英国统计学家K.皮尔逊最早提出来的.由辛钦定理,若总体的数学期望有限,则有简单易行,并不需要事先知道总体是什么分布.当总体类型已知时，没有充分利用分布提供的信息.一般场合下,矩估计量不具有唯一性.解例2设总体X在[a,b]上服从均匀分布,a,b未知.是来自X的样本,试求a,b的矩估计量.2.最大似然法它是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法.它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的.GaussFisher然而,这个方法常归功于英国统计学
4、家费歇.费歇在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质.最大似然法的基本思想先看一个简单例子：一只野兔从前方窜过.是谁打中的呢？某位同学与一位猎人一起外出打猎.如果要你推测，你会如何想呢?只听一声枪响，野兔应声倒下.你就会想，只发一枪便打中,猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率.看来这一枪是猎人射中的.这个例子所作的推断已经体现了极大似然法的基本思想.最大似然估计原理：当给定样本X1,X2,…Xn时，定义似然函数为：设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本，样本的联合密度(连续型）或联合分布律(离散型)为
5、f(x1,x2,…,xn;).f(x1,x2,…,xn;)这里x1,x2,…,xn是样本的观察值.似然函数：最大似然估计法就是用使达到最大值的去估计.称为的最大似然估计值.看作参数的函数，它可作为将以多大可能产生样本值x1,x2,…,xn的一种度量.f(x1,x2,…,xn;)而相应的统计量称为的最大似然估计量.两点说明：可以得到的驻点.2.用上述求导方法求参数的驻点有时行不通，例如在直线上求最值，这时要用最大似然原则来求.下面举例说明如何求最大似然估计L(p)=f(x1,x2,…,xn;p)例1设X1,X2,…Xn是取自总体X~
6、b(1,p)的一个样本，求参数p的最大似然估计量.解：似然函数为:对数似然函数为：L(p)=f(x1,x2,…,xn;p)对p求导并令其为0，得即解似然函数为对数似然函数为例2设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本求的最大似然估计值.例3设总体X的概率密度为其中是未知参数,X1,X2,…,Xn是取自X的样本,求参数的矩估计和极大似然估计。矩估计解：最大似然估计解：似然函数取对数求驻点第三节估计量的评选标准无偏性有效性估计量是随机变量，对于不同的样本值会得到不同的估计值.我们希望估计值在未知参数真值附近摆动，而它的期望值等于未知
7、参数的真值.这就导致无偏性这个标准.一、无偏性则称为的无偏估计.设是未知参数的估计量，若二、有效性D()≤D()则称较有效.都是参数的无偏估计量，若对任意，设和且至少对于某个上式中的不等号成立，第四节区间估计置信区间定义置信区间的求法引言前面，我们讨论了参数点估计.它是用样本算得的一个值去估计未知参数.但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大.区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷.譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数N的极大似然估计为1000条.若我们能给
8、出一个区间，在此区间内我们合理地相信N的真值位于其中.这样对鱼数的估计就有把握多了.实际上，N的真值可能大于1000条，也可能小于1000条.也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值.湖中鱼数的真值[]这里所说的
