概率论参数估计.ppt

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1、参数估计问题的提出:点估计区间估计参数估计总体X的分布形式已知，未知的只是分布中的参数，要估计的只是参数或参数的某一函数。总体X的估计有两类：一、参数估计二、非参数估计总体X的分布形式未知，要估计的是总体的分布形式。从总体X中抽取样本(X1,X2,…,Xn)构造合适的统计量=T(X1,X2,…,Xn)参数的估计量将样本观察值(x1,x2,…,xn)代入估计量计算出估计量的观察值=T(x1,x2,…,xn)参数的估计值或构造1=T1(X1,X2,…,Xn)和2=T2(X1,X2,…,Xn)(1<2

2、)用区间(1,2)作为可能取值范围的估计设总体X的分布函数为F(x,),未知，的取值范围称为参数空间。记作。现估计。步骤如下：构造点估计的估计量的具体方法有多种，在此，介绍两种方法。一、矩估计法矩估计法的思想是：用样本的各阶矩去估计总体相应的各阶矩，而总体各阶矩都是总体分布中未知参数的函数，从而，通过估计总体矩来达到估计总体分布中未知参数的目的。设总体分布为F(x,1,2……,k),i未知，样本(X1,X2,…,Xn)来自总体X，计算令解未知量1,2……,k称为参数1,2…

3、…,k的矩估计量。5.1参数的点估计例2：设样本(X1,X2,…,Xn)来自总体X~N(,2)，求与2的矩估计量。解：例1：设样本(X1,X2,…,Xn)来自总体X，且总体的均值未知，求的矩估计量。解：总体X的均值矩估计量为一阶样本原点矩例3：设样本(X1,X2,…,Xn)来自总体X~P()，求的矩估计量。解：另一方面：EX2=DX+(EX)2=+2，所以：此例说明：矩估计可以不唯一。此时，一般取低阶矩得到的那一个。一阶样本原点矩作为的矩估计量例4：设样本(X1,X2,…,Xn)

4、来自总体X，X服从[1,2]上的均匀分布，求1和2的矩估计量。另见书例5.10、5.11由解得EX2=DX+(EX)2解：这是两个参数的矩估计问题。思想：进行一次具体的抽样之后，(X1,X2,…,Xn)得到一组观察值(x1,x2,…,xn)。设总体分布(以离散型为例)为P(X=x)=F(x,1,2……,k),（1,2……,k)∈Θ未知，样本(X1,X2,…,Xn)来自总体X，则样本(X1,X2,…,Xn)的概率分布函数为：为（1,2……,k)∈Θ的函数。因为(x1,x2,…,xn)

5、在一次观察中就出现了，应出现在概率最大的地方。即求函数取得最大值的最大值点，以此作为（1,2……,k)的估计。二、极大似然估计极大似然估计基本思想：找出使样本观察值出现的概率为最大的参数值，将它作为未知参数的估计值。1、极大似然估计（离散型总体）试求参数p的极大似然估计量故似然函数为例1：故似然函数为例2：2、极大似然估计（连续型总体）似然函数为：例3：例4：例5：例6：极大似然法求估计量的步骤：(一般情况下)说明：若似然方程（组）无解，或似然函数不可导，此法失效，改用其它方法。例7：方程组无解5.

6、2点估计的优良性准则我们知道，一个未知参数的估计量可能不止一个。究竟采用哪个为好呢？这就涉及到用什么标准来评价估计量的问题。我们介绍三个常用的标准：1）无偏性；2）有效性；3）一致性。一、无偏性根据样本推得的估计值与真值可能不同，然而，如果有一系列抽样构成各个估计，很合理地会要求这些估计的期望值与未知参数的真值相等，它的直观意义是样本估计量的数值在参数的真值周围摆动，而无误差，这就是估计量的无偏性。定义5.2：如果对一切，有例：设总体X有期望EX=，样本(X1,X2,…,Xn)来自X，试证样本均值X

7、是的无偏估计。这个结论与总体的分布类型没有关系。只要总体期望存在，样本均值总是它的无偏估计。证：例：设总体X有期望EX=与方差DX=2，与2都未知。样本(X1,X2,…,Xn)来自X，试证：(1)样本方差S2是2的无偏估计；(2)样本标准差S不是标准差的无偏估计；(3)B2不是2的无偏估计。证：(1)由定理知：ES2=2(2)DS=ES2-(ES)2=2-(ES)2(3)因二、无偏估计的有效性一般地，未知参数的无偏估计量往往不止一个，在这些估计量中，当然是取值对于的离散程度越小的越好

8、，即方差越小的越好。定义5.3：解：DX1=DX=2例：设总体X有期望EX=与方差DX=2，与2都未知。样本(X1,X2,…,Xn)来自X，比较的两个无偏估计X1和X的有效性。例：条件同上，试证X在的所有线性无偏估计中方差最小。解：所谓线性估计是指为样本的线性函数。三、一致性（相合性）例：区间估计:点估计：用样本算出的估计值估计总体的未知参数可靠度：要求区间以很大的可能性包含即：精度：估计的精度要