173复数的几何意义和三角形式

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1、南京商业学校教案授课日期2015年月日第周时数课型新课课题§17.3复数的儿何意义和三角形式教学目标知识目标：了解复平面的概念；掌握复数的儿何表示和向量表示；理解复数的模、辐角及辐角主值的概念；掌握复数的三角形式及其特征。能力目标：会在复平面内描出表示复数的点及向量；会求复数的模和辐角、和辐角主值（特殊角）；会进行复数的三角形式与代数形式的互化。情感目标：培养学生数形结合的数学思想和辩证唯物主义思想。教学重点用复平面上的点、向量和三角形式表示复数；复数的模和辐角、辐角主值的概念。教学难点复数儿何表示法的理解；复数儿种表示形式的互化；复数辐角的求法。教学资源课木，教学参考书，学

2、习指导书，网络教法与学法教师启发、引导，学生自主阅读、思考，讨论、交流学习成果。学情分析（含更新、补充、删节内容）复数的儿何表示和向量表示是复数的两种常见形式，复数的向量表示学生不易理解的，教学时要充分揭示复数与向量之间的关系，并借助向量进一步加强学生对复数的理解。板书设计17.3复数的儿何意义和三角形式1.复平而例1例32.复数的儿何表示3.复数的向量表示例24.复数的三角形式教后记一、引入新课根据复数的定义，复数表示为F+biSbeR）的形式，我们把这种形式叫做复数的代数形式，复数还有其他表现形式吗？这些表示形式之间有什么关系？—＞讲授新课1.复平面在平面上建立直角坐标系

3、兀横轴、纵轴上的坐标分别表示复数的实部和虚部，这样的平面叫做复平面，其中横轴叫做实轴，纵轴叫做虚轴。2.复数的儿何表示有序实数对（°力丿与直角坐标系内的点一一对应的，由复数代数形式Z=Q+仇可以知道，任何一个复数""biSbwR）,都可以有一个有序的实数对（。力）唯一确定，即复数图1Z=Q+加与有序实数对之间一一.对应。由此可知，复数z=o+加与复平面内的点Z（。力）之间是一一对应的（如图1所示），即任何复数Zi+bi都可以用复平面内的点ZSb）來表示。我们把这种表示形式叫做复数的几何表示。想一想：实数、纯虚数、虚数表示的点分别在复平面的什么位置？洋牛思考并回答（复平面内，表

4、示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上，表示非纯虚数的点分别在四个象限内・）3.复数的向量表示一直角坐标系内的点ZSb）与始点在原点型頁量OZ=Ub）是一一对应的，因此，复数ZM+加也与向量OZ=d,b）一一对应，其中复数0对应零向量，卫何复数+加可以表示为复平面内以原点。为起点的向量旋，我们把这种表示像是叫做复数的向量表示法。把复数s+bi表示为向量OZ=Sb）,那么把向量乾的模（长度）叫做复数Z=Q+.加艸琴耳作同由图2容易得到，0+州=，特别地,=0吋，a+bi是实数，它的模就等于问。复数的模有以下性质：①复数的模是一个非冬平数，即1^0；②互为共轨复数的两个复

5、数的模相等，即1"1=ZO必须注意，两个不全是实数的复数不能比较大小，但是它们的模可以比较大小。_以兀轴的正半轴为始边，向這孚所在的射线为终边的角称为复数a+bi的辐角，它表示向量°Z的方向，复数0的辐角是任意的。一个不等丁零的复数Z的辐角不唯一，这些值相差2龙的整数倍，即若&是复数z的一个辐角，那么W+eJkG也是复数z的辐角，我们把复数在©2兀）内的辐角叫做辐角的主值，记作叱。想一想：实数、纯虚数的三角形式分别是什么？由图2可知，复数乙以+如（心0）的辐角主值9=argz所在学生思考并回答的象限与复数F+bi相对应的点Z（a,b）所在的象限相同,并且tan0=—ao例1求

6、下列复数的模和辐角主值（2）厲(1)1+，解：（i）tan0=—又。二1,点（1,1）在第一象限。所以TT&=arg(1+z)=—4V3—i=J(V^)2+(_D2=2tcm0——尸r—师生共同完成学生讨论并回答有<3,点（1）在第四象限，所以学生讨论并回答复数的三角形式有三个特征:①模r>0:②括号内的实部是余弦，虚部是正弦,且是同一个辐角值0的正弦和余弦③三个特征屮只要冇一个不满足，则表达式就不是复数的三角形式。师生共同完成例2和例30=arg(V3-z)=2^-—=66想一想：怎样求复数2=3-4i的辐角？1.复数的三角形式如图2所示，设复数加的模为I辐角为〃，则a=r

7、cos0b=rsin0于是a+bi-rcos0+irsin0-r(cos0sin&)我们把复数的表示形式l称为复数的三角形式，这种表示形式是用复数的模和辐角來表示复数，复数z=°的三角形式仍然是z=°想一想：复数的三角形式有哪些特征？下列各式是复数的三角形式吗？(])isin0+cos0(2)(-30。)+is加(-30。)]5{cos—+isin—)(3)66复数的代数形式和三角形式Z间可以相互转化，把复数的代数形式转化为三角形式时，通常取〃为复数的辐角主值。例2把下列复数转化为代数形式4(cos—+