113直接证明、间接证明与数学归纳法

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1、11.3直接证明、间接证明与数学归纳法一、选择题B.y[a0,②血V0,③°>0,方>0,④X0,方V0,其中能使#+彳$2成立的条件有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析：要使怙弄2,只要》0且务0,即心方不为0且同号即可，故有3个.答案:C3.设S是至少含有两个元素的集合•在S上定义了一个二元运算(即对任意的a,bES,对于有序

2、元素对(a,b),在S中有唯一确定的元素a粉与之对应).若对任意的a,bES,有/(沪a)=方，则对任意的a,bWS,下列等式中不恒成立的是()A.(a^b)^a=aB・[a*(〃*a)严(a*b)=aC・b*(b*b)=bD.[护(a*b)]=b解析：此题只有一个已知条件：a*(〃*a)=〃・B中a^(b^a)=b原式变为b^(a^b)=a,成立,C中相当于已知条件中a替换为庆明显成立，D中，沪(a*b)=a,原式变为(a^a=b成立.答案:A4.设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是()A.匕一洌W

3、a—c

4、+0—c

5、B.a2+^a+~C・a—b+^_^2D

6、.ja+3—y]a+l

7、a—洌=

8、(a—c)+(c—〃)

9、W

10、a—c

11、+

12、c—洌一定成立.B:/++£+少-2,/+畀卄甥卄少玮+灯+2%+少一@+{)—2罚0卄律或a+^-1.而a+z^2或a+lw—2・・••上式恒成立.C：a-b^9而d—bER,・・・不能使用均值不等式.D：显然成立.答案：C二、填空题5・已知函数f(x)=ax+2a+lf当用［一1,1］时，心)有正值也有负值，则实数a的取值范围为・解析：由题意得f(x)=ax+2a+1为斜率不为0的直线，由单调性知/(I)呎一1)<0,/•(a+2a+1)•(2a—a+1)vO・—1

13、壬・答案：一lvav—壬6.如果函数/(兀)的定义域为R,对于m9n^R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)—6,且人一1)是不小于5的正整数，当x>l时，心)VO•那么具有这种性质的函数心)=・(注:填上你认为正确的一个函数即可)解析：令/n=w=0,由f(m+w)=f(m)+f(n)—6得/(0)=6,设f(x)=ax+69—1)=—a+6a5・・°・aWl・又知当x>l时，/(x)<0,:.a<0且/U)=a+6W0・.•.aW—6(aWZ)・/.«=—6,—7,—8…都符合要求.答案：一7工+67.如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n(neN)行，在这些数中非1的数字之和

14、是.111121133114641解析:所有数字之和5„=2°+2+22+-+2m-,=2h-1,除掉1的和2H-1-(2W-1)=2n-2n.答案:2n-2n三、解答题8・试证：当f(n)=32,l+2Sn-9能被64整除.证明：证法一：⑴当〃=1时，＞(1)=64,命题显然成立.(2)假设当n=k(fe^N*,Q1)时，f(k)=32k+2-8k-9能被64整除.当n=k+l时，由于3级+"+2—8仇+1)—9=9(32fe+2-8k-9)+9-8k+9-9-8(k+l)-9=9(32fe+2-8k-9)+64(k+l),即^+l)=9Ak)+64(Jt+l),・・・“=b+l时命

15、题也成立.根据(1)、(2)可知，对于任意neN*,命题都成立.证法二：(1)当死=1时爪1)=64命题显然成立.(2)假设当w=k(feGN*,Q1)时，f(k)=32k+2-8k-9能被64整除.由归纳假设，设32fe+2—sfe—9=64/n(rn为大于1的自然数)，将3亦2=64加+8b+9代入到/｛k+1)中得/Ut+1)=9(64加+甌+9)—8仇+1)—9=64(9加+b+l),・=k+l时命题也成立.根据(1)(2)知，对于任意命题都成立.9.如右图所示，0是正方形ABCD的中心，P0丄底面ABCD,E是PC的中点，求证：平面MC丄平面BDE.证明:•:P0丄底面A

16、BCD,；・P0丄〃D・又TO是正方形的中心，・・・〃£>丄AC・・.・POQAC=0,:.BD丄平面MC,又BDU平面BDE,所以平面E4C丄平面BDE10.已知数列｛為｝的前n项的和S“满足Sn=2an-3n5WN).⑴求证｛a„+3｝为等比数列，并求仏｝的通项公式；(2)数列｛為｝是否存在三项使它们按原顺序可以构成等差数列？若存在，求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由.证明：(l)・・・S“=2a”一3〃(/2GN),・・・ai=S