11.3直接证明、间接证明与数学归纳法

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1、11.3直接证明、间接证明与数学归纳法一、选择题1.用反证法证明命题“如果a＞b,那么刼〉刼”时，假设的内容应是（）解析：用反证法证明的第一步是假设结论不成立•假设刼〉饭不成立，即刼W折成立.答案：D2.下列条件：①血＞0,②abvO,③a＞0,方＞（）,@a＜（）,方v（）,其中能使夕+彳$2成立的条件有（）A.1个B.2个C・3个D.4个解析：要使夕+彳$2,只要$0且务0,即°,〃不为0且同号即可，故有3个.答案：C3.设S是至少含有两个元素的集合•在S上定义了一个二元运算（即对任意的a,bQS,对于有序元素对S，b）,在S中有唯一确定的元素°紡与之对

2、应）.若对任意的a,bES,有a^a）=b9则对任意的a,b^S,下列等式中不恒成立的是（）A・B・[a*（〃*a）]*（a*方）=aC・b^b）=bD・（a粉严忆）]=〃解析：此题只有一个已知条件：a*（b*a）=b・B中a^（b^a）=b原式变为护（a*b）=a,成立,C中相当于已知条件中a替换为〃，明显成立，D中，b^b）=a,原式变为（a彻乜=方成立.答案：A4.设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（）A.la-^KIa-cl+lft-dB.C・la—〃1+么D.y/a+3—寸d+1Vpa+2—y[a解析：A：a—b=（a—

3、c）+（c—〃）IWIa—cl+lc—Zd—定成立.B:/+》=©+少-2,/+》纹+扫（《+少盘+茁+2盘-2MOO仇+拦2或a+»W_l・而a+拦2或a+夕W—2・・・・上式恒成立.C：la—方IMO,而a—方ER,・••不能使用均值不等式・D：显然成立.答案：C二、填空题5.已知函数f(x)=ax+2a+lf当兀丘［一1,1］时，/(x)有正值也有负值，则实数a的取值范围为・解析：由题意得f(x)=ax+2a+为斜率不为0的直线，由单调性知/(1)/(-1)<0,(a+2«+1)・(加一a+l)v()・・；一

4、/U)的定义域为R,对于加，刃WR,恒有/(加+刃)=/(加)+/(刃)一6,且/(-I)是不小于5的正整数，当兀>1时，/(x)1时，/(x)<0,・・・avO且/(l)=a+6W0・.•.aW—6(aWZ).Aa=—6,—7,—8…都符合要求.答案：一7x+67.如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n(/?eN)行，在这些数中非1的数字

5、之和是・111121133114641解析：所有数字之和S”=2°+2+22+…+2”t=2"—1,除掉1的和2w-l-(2n-l)=2n-2n・答案：2,l-2n三、解答题8.试证：当f(n)=32,,+2-8n-9能被64整除.证明：证法一：⑴当舁=1时，/(1)=64,命题显然成立.(2)假设当Q1)时，f(k)=32k+2-8k-9能被64整除.当n=k+l时，由于3纵+1)+2—8仇+1)—9=9(32fe+2-8fe-9)+9-8fe+9-9-8(k+l)-9=9(32fc+2-8k-9)+64(fe+l),即/(b+1)=”仇)+64(佐+1)

6、,/.n=k+1时命题也成立.根据(1)、(2)可知，对于任意neN*,命题都成立.证法二⑴当刃=1时/(1)=64命题显然成立.(2)假设当〃=佐(匹N：Q1)时,f(k)=32k+2-8k-9能被64整除.由归纳假设，设32fe+2—Sfe—9=64/w(/n为大于1的自然数)，将32Jt+2=64/n+8k+9代入到f(k+l)中得/(fe+l)=9(64/7z+8fe+9)-8(k+l)-9=64(9/n+fe+l),.=k+l时命题也成立.根据⑴⑵知，对于任意m^N*,命题都成立.9.如右图所示，0是正方形ABCD的中心，P0丄底面ABCD,E

7、是PC的中点，求证：平面B4C丄平面BDE.证明：TPO丄底面ABCDf・・・P0丄〃D・又TO是正方形的中心，:・BD丄AC.•:POQAC=Qf・・・BD丄平面PACf又BDU平面BDE,所以平面财C丄平面BDE10.已知数列｛心｝的前〃项的和S”满足Sn=2a,-3n(nen')・⑴求证S“+3｝为等比数列，并求｛心｝的通项公式；(2)数列佃｝是否存在三项使它们按原顺序可以构成等差数列？若存在，求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由.证明：(1)・.・S“=2^-3〃SWN),・・・ai=Si=2zzi-3,:.ax=3.又由得a“+i—S“+]—

8、Sn—2a”一3,Sn=2an—3nf.S“+i=2