《复变函数教学资料》复变函数与积分变换新大纲

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1、复变函数与积分变换课程教学大纲课程编号：09J70360课程中文名称：复变函数与积分变换课程英文名称：FunctionsofaComplexVariableandIntegralTransforms开课学期：春、秋季学分/学时：2.5/40先修课程：数学分析/高等数学，课程名称，数学分析/高等数学，线性代数建议后续课程：傅立叶变换适用专业/开课对象：工科，2年级本科住团队负责人：责任教授：执笔人：滕岩梅核准院长:一、课程的性质、目的和任务《复变函数与积分变换》是工科院校最重要的基础课之一，是工科电气、电子、通讯、自动化、勘査、测绘等许多专业的必修课，也是物理、力学、石油工程等专业一些

2、后继课程的必要基础，其内容丰富，实用性强。复变函数理论这个新的数学分支统治了十九世纪的数学，当时被公认是最丰饶的数学分支和抽彖科学中最和谐的理论Z—。二T•世纪初，复变函数理论又冇了很大的进展，开拓了复变函数理论更广阔的研究领域。复变函数的理论和方法在数学、口然科学和丄程技术中有着广泛的应用，是解决诸如电磁学、热学、流体力学、弹性理论中的平而问题的有力工具,它的基础内容己成为理工科很多专业的必修课程。积分变换主要是傅立叶变换和拉普拉斯变换，它是通过积分运算把一个函数变成另一个函数的变换。积分变换的理论与方法不仅在数学的许多分支中，而H.在自然科学和工程技术领域中均冇着广泛的应用，已经

3、成为不可缺少的运算工具。通过对该课程的学习，既为后继专业课程的学习奠定了基础，亦为数学应用开拓了空间，同时对培养学牛•的逻辑思维能力、分析解决问题能力、数学建模能力尤为重要。学习本课程必须先修高等数学课程。二、课程内容、基本要求及学时分配第一章复数（5学时）1.复数及其代数运算；复数的儿何表示；复数的乘幕与方根;2.区域；曲线;复球面。基本要求：1.掌握复数的三种表示式及运算。2.了解区域，单连域，多连域的概念。1.了解复球而与无穷远点。第二章解析函数（5学时）1.复变函数的定义及映射概念；复变函数的极限和连续性；复变函数的导数与微分；2.解析函数的概念；函数解析的充耍条件；3.初等

4、函数：指数函数、对数函数、幕函数、三角函数。基本耍求：1.了解复变函数的极限、连续、导数、微分的概念。2.理解复变函数解析的概念。3.掌握函数可导或解析的充要条件，会熟练运用充要条件来判定函数的可导性、解析性。4.掌握各个初等函数的意义及主要性质，会运算。第三章复变函数的积分（8学时）1.复变函数积分的概念及计算；2.单连通域和多连通域的柯西积分定理；3.柯西积分公式和高阶导数公式；了解柯西不等式和刘维尔定理；4.解析函数与调和函数的关系。基本要求：1.了解复变函数积分的定义及性质，掌握复积分的参数方程计算方法。2.理解柯西基本定理及推论。3.理解多连通区域柯西积分定理。4.掌握柯西

5、积分公式与高阶导数公式，会熟练使川这两个公式计算闭路积分。5.理解解析函数与调和函数的关系，会从解析函数的实（焜）部求其虚（实）部。第四章级数（8学时）复数项级数；1.幕级数；2.泰勒（Taylor）级数；3.洛朗（Laurent）级数；4.孤立奇点分类。基本要求:1.了解复数项级数收敛、发散、绝对收敛等概念。2.理解幕级数收敛的概念，掌握幕级数的收敛半径和收敛圆域，了解幕级数在其收敛圆域内的基本性质。3.会用直接法求初等函数在英解析圆域内的泰勒级数展开式。4.掌握ez,sinz,cosz,ln（l+z）,（1+z）a的马克劳林（Maclaurin）展开式。会用间接法求复变函数在其解

6、析圆域内的泰勒展开式。5.熟练使用间接法求简单复变函数在其解析圆环内的洛朗级数展开式。6.理解判别孤立奇点类型方法。笫五章留数（2学时）1.留数及留数定理（包括无穷远点处的留数）；2.用留数计算闭路积分。基木要求1•理解留数概念，掌握留数计算法。（包括无穷远点处的留数）2.理解留数定理，会熟练运用留数计算闭路积分。笫六章Fourier变换（6学吋）1.Fourier积分与Fourier变换；2.Fourier变换的性质与卷积;3.Fourier变换的应用。基本要求：1.掌握Fourier积分定理，注意间断点悄况。2.理解Fourier变换定义及性质计算函数的Fourier变换。3.掌

7、握卷积定理，会用卷积定理的各种形式计算Fourier变换及其逆变换。4.了解用Fourier变换求微分、积分方程的-•般方法。笫七章Laplace变换（6学时）1.Laplace变换的概念;Laplace变换的性质；2.Laplace变换的逆变换；Laplace变换的卷积3.Laplace变换的应用基本耍求：1、了解Laplace变换的存在定理。会用定义及性质计算函数的Laplace变换。2、掌握用留数计算反演积分的-般方法，重点是两种特殊惜况。3、掌握卷