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1、第三章一阶微分方程的解的存在定理在与微分方程有关的实际问题中,往往需要求满足某些定解条件的特解.然而能用初等积分法求通解的微分方程是很有限的.若仅限于初等积分法,那么对于大量的微分方程的定解问题,我们甚至还不知道解是否存在?当解存在时是否唯一?这样一来,对初值问题的基本理论的研究就提到了重要的地位.例1考虑初值问题(Cauchy问题):这里解:设是解,则根据微分中值定理得因此,这个Cauchy问题无解.例2考虑初值问题(Cauchy问题):解:用初等积分法求得通解y=(x+c)2.由初值条件得c=0
2、.所以y=x2是满足条件的一个解.显然y=0也是满足条件的解.事实上,或都是满足条件的解.因此,过点O(0,0)的积分曲线有无穷多条.历史上,首先由Cauchy解决了这个“解的存在唯一性”问题.以后,Lipschitz在较弱的条件下给出存在唯一性定理.此定理是常微分方程理论中最基本的定理,是进一步研究解的性质的基础.能用初等积分法求解的方程是很有限的,因此求近似解具有十分重要的实际意义.而存在唯一性定理是求近似解的前提.另外,存在唯一性定理的证明是构造性的,它提供了一种求近似解的方法.§3.1解的存
3、在唯一性定理与逐步逼近法3.1.1存在唯一性定理先考虑导数解出的一阶方程其中f(x,y)是定义于矩形区域上的连续函数.定义1设f(x,y)在某区域D内有定义,如果存在常数L,使得(x,y1),(x,y2)∈D,有
4、f(x,y1)-f(x,y2)
5、≤L
6、y1-y2
7、则称f(x,y)在D内关于y满足利普希茨(Lipschitz)条件.而称L为利普希茨常数.定义2已知y=(x),x∈区间J,如果x∈J有那么称y=(x),x∈J是积分方程的解.定理1:如果f(x,y)在矩形区域R内连续且关于y满足利普希茨条
8、件,则方程(1)存在唯一的解y=(x)定义于区间
9、x-x0
10、≤h上,连续且满足初值条件这里,注1定理中数h的几何意义.因为所以积分曲线y=(x)的斜率因此,当
11、x-x0
12、≤h时,积分曲线上点(x,(x))的纵坐标满足过P(x0,y0)作斜率分别为-M,M的直线AC,BD:y=y0-M(x-x0),y=y0+M(x-x0).直线AC,BD与矩形的上、下两边的交点A,D,B,C的横坐标是x0±b/M.(4)式表明积分曲线在△PAD和△PBC内.如果A,D,B,C在矩形R的左右边界上,那么它们的横坐标为x
13、±a此时h=a.注2f(x,y)关于y满足利普希茨条件较难检验.一般改为容易检验的较强的条件:连续或有界.这是由于,当时,根据微分中值定理得但满足利普希茨条件的f(x,y),其偏导数不一定存在.如,f(x,y)=
14、y
15、在y=0处不可导.分五个命题来证明这个定理.命题1y=(x)x∈J是方程(1)满足初值条件(3)的解y=(x)x∈J是积分方程(2)的连续解.证明:设y=(x)x∈J是方程(1)满足初值条件的解,则对x∈J有并且此时,可微,从而连续,因为f(x,y)在R内连续,所以在J内连续,因此可积
16、.从x0到x积分(5)式得反之,如果y=(x)x∈J是积分方程(2)的连续解,即有恒等式(6).因为连续,所以(6)式右端连续可微,从而可微.微分(6)式得,(5)式在J上成立,且有以下三个命题是用Picard逐步逼近法证明积分方程连续解的存在性.构造Picard函数序列{n(x)}:如果,那么n(x)就是积分方程(2)的解,如果永远不发生这种情况,那么得一Picard函数序列{n(x)}.称n(x)为初值问题(1)、(3)的第n次近似解.命题2(Picard序列的存在性)(7)式中的n函数n(x)
17、在区间[x0,x0+h]上有定义、连续且满足:证明当n=0时,命题的结论显然成立.当n=1时,因此,n=1时命题的结论成立.现设命题当n=k时成立,即函数k(x)在区间[x0,x0+h]上有定义、连续且这时,由于所以函数k+1(x)在区间[x0,x0+h]上有定义、连续且命题3函数序列{n(x)}在区间[x0,x0+h]上一致收敛.证明因为所以只需证明级数在区间[x0,x0+h]上一致收敛.为此,先证明不等式:n=1时,设n=k时,(9)式成立,即那么,当n=k+1时,有所以(9)式对任意的n成立.
18、根据(9)得因为收敛,所以,在区间[x0,x0+h]上一致收敛.设则(x)在区间[x0,x0+h]上连续,并且根据(8)得命题4(x)是积分方程(2)的定义于区间[x0,x0+h]的连续解.证明因为均在R内,所以由利普希茨条件得因为在区间[x0,x0+h]内一致收敛于所以,由上式,在区间[x0,x0+h]内一致收敛于由于一致收敛的函数序列的极限与积分号可交换.所以令n→∞对(7)式两边取极限得命题5(唯一性)若是积分方程(2)的定义于区间[x0,x0+h]的另一个连续
