常微分方程3.1-3.2new

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1、第三章初等积分法在微分方程发展的初期，即从十七世纪后期Newton和Leibnitz发明微积分以后直到十八世纪末，研究的主题是，尽可能设法把当时遇到的一些类型的微分方程的求解问题化成积分（求原函数）的问题。这种方法，习惯上称为初等积分法。1•这些方法和技巧是由Newton、Leibnitz、Euler和Bernoulli兄弟（JacobBernoulli和JohannBernoulli）等人发现的。虽然Liouville在1841年证明了大多数微分方程不能用初等积分方法求解。但这些方法至今仍不失其重要性。这是因为，能用初等积

2、分法求解的微分方程，虽然是特殊类型，但确是实际应用中常见和重要的；另外这些方法的思想和技巧对我们处理相关学科的其他问题也是有帮助的.23.1.1可分离变量的微分方程一阶微分方程的正规形式：dyf(x,y)或yf(x,y)dx可用分离变量法解的一阶方程的一般形式dy(x)(y)(1)dx具体解法分离变量：设(y)03dy(x)dx(y)两边同时关于x求不定积分：dy(x)(x)dx(y(x))写出通解：(结果含有一个任意常数)(x)(x)C®需要注意(y)的零点yy0有可能是

3、方程的解，不可遗漏，见以下分析。4例1解方程y(sinx)(siny.)dy解分离变量sinxdx,sinycscydysinxdxln

4、cscycoty

5、cosxC,11cosycosxC1即tanyecosxC1esiny2ycosxtanCe是原方程的通解。252dy1y例2求微分方程的通解.2dx1(x)xy解分离变量ydxdy2(1y)0221yx1(x)ydx两边积分得dy221yx1(x)22y1xxdydx221yx1

6、(x)6y1xdydxdx221yx1x1212ln(1y)lnxln(1x)C122221(y)(1x)又可写为ln22C1x221(y)(1x)2C取指数e12x222故方程的通解为:1(x)(1y)Cx2C1(其中Ce为任意正常数).2y1例3求解定解问题：y2y)0(1.解先求通解dy1分离变量2dx(y)1y12两边同时积分得1y11y1lnxC1或lnx2C1,2y12y1y1x2C进一步e1y18y12Cx或e1

7、ey12Cy1x记Ce10，则Ce，y1(允许C取零，则y1已含在其中.)进一步化简得通解x1Cey(C为任意常数)x1Ce(若允许C，则y1已含在其中.)9再求特解，为此在通解中令x,01C1,C,01C于是所求定解问题的特解为:y.122例4求解y(3x)11(y),y.1x0解先求通解，dy2分离变量(3x)1dx21y10dy2两边同时积分23(x)1dx1y3得arctany(x)1C由条件y1，x03即arctan10()1

8、CC,1而得到对应初始条件的特解：43arctany(x)114113.1.2.可化为分离变量方程的方程3.1.2.1齐次方程通常称以下函数为齐(5)次函数2345f(x,y)xy2xyy,更一般地，齐m次函数具有特性：mf(tx,ty)tf(x,y)(m为实常数)当m,0称f(x,y)为齐零次函数，如2xxxyyaxby,,arctan,f()2yxyyxcxdy12所以齐(零)次方程的一般形式：dyy()(1)dxx具体解法y令u,于是yxu,xdyduux(2)dx

9、dxy将(2)代入(1)得到以u为未知x函数的可分离变量的一阶方程，13duux(u)dx分离变量，得dudx((u)u)0(u)ux通过积分，求出通解y(u)lnxC即()lnxC.x14对特殊情况(u)u0的处理：dyyy)1(若(u)u0，即(),dxxx其解yCx若是原方程的解,不可遗漏；)2(若uu,使(u)u0，即000y(u)u,故yuxC，000也是解,如果没含在通解中,应补上.1522例5解方程(xyy)dx(x2xy)

10、dy.0dyxyy222(y/x)(y/x)解2dxx2xy1(2y/x)2yduuu令u，则xuxdx12udx12u分离变量du(u)02xu12u两边积分lnxdu2u161lnx2lnulnC(C)011u1C21lnulnux12