常微分方程 3.1-存在唯一性定理.ppt

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1、第三章一阶微分方程的解的存在定理问题的提出：前一章中，介绍了能用初等积分法求解的一阶微分方程的几种类型，但同时指出，大量的一阶微分方程是不能应用初等积分法求出其通解的。另一方面，实际问题所需要的往往是满足某种初始条件的解。因此我们把注意力集中在初值问题（也称柯西问题）：的求解上，与代数方程类似，对于不能用初等方法求解的微分方程，我们可以采用数值解法，在应用数值解法求解之前必须在理论上解决以下两个基本问题：需解决的问题§3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法一存在唯一性定理1定理1考虑初值问题(1)初值问题(3.1)

2、的解等价于积分方程的连续解.证明思路(2)构造(3.5)近似解函数列(逐步求(3.5)的解,逐步逼近法)这是为了即下面分五个命题来证明定理,为此先给出积分方程的解如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符号下含有未知函数,则称这样的关系式为积分方程.积分方程命题1初值问题(3.1)等价于积分方程证明:即反之故对上式两边求导,得且构造Picard逐步逼近函数列问题:这样构造的函数列是否行得通,即上述的积分是否有意义?注命题2证明:(用数学归纳法)命题3证明:考虑函数项级数它的前n项部分和为对级数(3.9)的通项

3、进行估计于是由数学归纳法得知,对所有正整数n,有现设命题4证明:即命题5证明:由综合命题1—5得到存在唯一性定理的证明.一存在唯一性定理1定理1考虑初值问题命题1初值问题(3.1)等价于积分方程构造Picard逐步逼近函数列命题2命题3命题4命题52存在唯一性定理的说明3一阶隐方程解存在唯一性定理定理2考虑一阶隐方程则方程(3.5)存在唯一解满足初始条件三近似计算和误差估计求方程近似解的方法---Picard逐步逼近法,这里注:上式可用数学归纳法证明则例1讨论初值问题解的存在唯一区间,并求在此区间上与真正解的误差

4、不超解由于由(3.19)例2求初值问题解的存在唯一区间.解例3利用Picard迭代法求初值问题的解.解与初值问题等价的积分方程为其迭代序列分别为取极限得即初值问题的解为