常微分方程3.1.ppt

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1、第三章一阶微分方程的解的存在定理需解决的问题历史回顾：1、Cauchy(1789-1857)在十九世纪二十年代第一个成功地建立了微分方程初值问题解的存在性和唯一性；(因此后人将初值问题称为Cauchy问题)2、1876年，Lipschitz(1832-1903)减弱了Cauchy定理的条件；3、1893年，Picard(1856-1941)用逐次逼近法在Lipschitz条件下对定理给出新证明；4、Peano(1858-1932)在更一般的条件下建立了Cauchy问题解的存在性定理(不顾及唯一性)。§3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法一存在唯一性定理1定理1考虑初值问

2、题(1)初值问题(3.1)的解等价于积分方程的连续解.证明思路(2)构造(3.5)近似解函数列(逐步求(3.5)的解,逐步逼近法)这是为了即下面分五个命题来证明定理,为此先给出积分方程的解如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符号下含有未知函数,则称这样的关系式为积分方程.积分方程命题1初值问题(3.1)等价于积分方程证明:即反之故对上式两边求导,得且构造Picard逐步逼近函数列问题:这样构造的函数列是否行得通,即上述的积分是否有意义?注命题2证明:(用数学归纳法)命题3证明:考虑函数项级数它的前n项部分和为对级数(3.9)的通项进行估计于是由数学归纳法得知,对

3、所有正整数n,有现设命题4证明:即命题5证明:由综合命题1—5得到存在唯一性定理的证明.一存在唯一性定理1定理1考虑初值问题2存在唯一性定理的说明解的存在区间：注：定理2：考虑一阶隐方程则方程(3.5)存在唯一解满足初始条件注：证明：(思路：利用隐函数存在定理将这里的初值问题转化为前述的初值问题处理)三、初值问题解的存在唯一性定理的应用1、求精确解例利用Picard迭代法求初值问题的解.解与初值问题等价的积分方程为其迭代序列分别为取极限得即初值问题的解为2近似计算和误差估计求方程近似解的方法---Picard逐步逼近法,这里答案：例2求初值问题解的存在唯一区间.解作业P

4、781,4,6，9