2、求函数的最值，得至l]/Wmax=W或最小WWmin=«：三是极端原理，即必加或口9・【分析】(1)分离参数，构成新函数，然后通过对新函数求最值来求解；(2)结合已知的两个x2函数，然后证明A^)min>W(X)max^其中〃心)=匚-一(XW(0,+oo))・ee3【解答】⑴由题意知刼11迄虫-处3对一切圧(0〉-乂)恒成立〉则处21HX-X-—.X3设A(x)=21nx-x-—(x>0),x则他二空学2X当xe(0,1)时，X(x)<0,/?(x)单调递减；当xG(l,+oc)时，X(x)>0,/?(x)单调递增，所以力(x)min=力⑴=4.因为对一切xW(0,+oo),2心)沖
3、(兀)恒成立，所以d9(x)min=4‘即实数G的取值范围是(S4].Y2⑵问题等价于证明xx>—-—(xE(0,+8))恒成立ee又/(x)=xlnx,/(.¥)=Inx+1,(1)当xW0,-时，/(x)<0,/(x)单调递减；1)当xE—,+x时，/V)>0,心)单调递增，e丿…⑴1所以/Bmin亍-=-—•乜丿ex21-y设m(x)=—・一(xW(O,+oo)),贝lj/;f(x)=—,eee易知加(%)max=M(l)=■丄,e12从而对一切xW(0,+oc),lnx>—-—恒成立.eex【点评】利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性,求
4、出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求岀参数的取值范围；也可以分离变暈，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.#【练习】已知函数/(x)=c”・Qlnx・a,其中常数q>0.⑴当o=e时，求函数/(x)的极值；(2)若函数尹=心)有两个零点兀1，X2(00.【解答】函数切的定义域为(0,-X).⑴当“efl寸，Rx)=e^lnx・e,X而厂(x)W丄在⑼-©上单调递増，又厂⑴=0,X当O"V1时,广⑴今(1)=0,贝"(X)在(0,1)上单调递减；当x>m,r(x)>Ai)=o,贝q/(x)在
5、(1,+x)上单调递增，所以心)有极小值/(1)=0,没有极大值.(2)先证明半/(x)NO恒成立时，有00显然成立；e1ex若x>—,由/WN0得处•elnx+1ex令o(x)=lnx+1(1evlnx+1--lX丿(lnx+1)2z・1)令g(x)=ln兀+1-—x>-e丿rilg'(x)=丄+g>0得g(x)在一,+°°上单调递增.xx)又因为g(l)=o,…(1)所以0(X)在一,1上为负，在(1，十8)上为正，(e丿从而OSWe.fl因此°(x)在-4上单调递减，在(1,+g)上单调递增,所以卩(兀)min
6、=0(l)=e,le丿因此若函数y=/(x)有两个零点，贝M>e,所W/(l)=e-tz<0.由/(a)=c"・alnq・q(q>c)得广(a)=c"-lna-2,则f'(a)=ea-丄>『・—>e-—>0.aee所以fa)=Q-xa-2在(e,+8)上单调递增，所y./W>/r(c)=ec-3>c2-3>0,所以/(d)=e"-alna-a在(c,+co)上单调递增，所以@)刁(e)=eJ2e>e2-2e>0,则心)@)<0,所以1e,得/—=p7-tzln一7+aln：+aln：>0,a)eaeee则/U”一<0,所以-7、a综上所述，一0,所以g(x)=eA-elnx>e.Y1-Y设/7(X)=—(X>0),贝Ij/7V)=—•ee当0"0,所以力(x)在(0,1)上单调递增；当x>l时，hf(x)<0,所以〃(x)在(1,+oo)上单调递减.Y1XI所以A(x)=—(x>O)ftJ最大值为力(1)=—,即—冬一,eeee所以令仝ex所以gW=e
