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《19数列中整除问题的研究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、专题：数列中整数（除）问题的研究一、问题提出问题：己知等差数列｛陽｝的公差d〉0.设｛色｝的前n项和为S“，q=l,52-S5=36.(1)求d及S”；(2)求m,k(in,kwN的值，使得am++amt2+•••+atll+k=65解：(1)略；(2)解法1:am+am+i+am+2+…+am+k=(2m+k-1)伙+1)=65f£.2m+k-l=13,m=5由加MwN*知2加+k-lnR+l〉l,故彳,所以qR+l=5k=4解法2：S“=n:.Sm+k=(m+k)2,Sini=(m-1)266-k
2、2一2k+2由题意得,am+am+l+am+2+…+am+k=Sin+k-Sm_｛=65(加+-(/n一1)~=65=>+2mk+2m=66=>w可知2k+2为偶数，则66"必为偶数，所以k为偶数66>1=>-1-V65<-1+765,故R=2,4,6,代入检验得卩2k+2k=4■二、思考探究探究1：设数列匕｝的前n项和为S”，且（5„-1）2=讥.(1)(2)为等差数列;求证:(3)是否存在正整数加，k,使丄=丄+19成立？若存在，求出加，k；若不存在，说明理由.aksk%解：（l）n=l吋，（％-1）
3、2二彳，.・.务二*……2分(2)・・•住一1)—色S”・•・n>2时(S”-1)2=(S”-SQS”・•・-2S”+1=-S,-S“1=s”SRS”・11_1S”-1为等差数列…10分(3)•.*—-—=Q]—1=—2—-—=—2+(«—1)(—1)=—n—15.-1ses,T守“为定值’•••(S“-1)21n(n+l)12分假设存在正整数〃2,k,使丄二丄+19%则(k+1)2=m(m+1)+194(k+1)2=4m(m+1)+76・•・[(2k+2)+(2m+l)][(2jt+2)-(2m+1)]
4、=75[(2jI+2/??+3)(2^-2/??+1)=75=75x1=25x3=15x5[2R+2加+3=75、〔2R+2加+3=25、〔2k+2加+3=15J或<或〈[2R—2加+1=1「[2R—2加+1=3~[2k-2m+l=5k=4「16分m=2探究2：在数列｛an｝,｛bn｝中,已知坷=2,b严4,且陽,—仇，%成等差数列,叽,一碍,仇+「也成等差数列.(1)求证:｛an^bn｝是等比数列；(2)设加是不超过100的正整数，求使上二上亠成立的所有数对n).一〃7仏+i+4解：(1)由a”，-仇，
5、d曲成等差数列可得，-2bn=an+dN+I,①由化，~an，仇+i成等差数列可得，-2an=bn+b”[,②①+②得,%+b”+]=-3(色+bn),所以｛%+亿｝是以6为首项、-3为公比的等比数列.6分(2)由(1)矢口，a”+b“=6x(-3)"T,③①一②得,an+l-bn+i=an-bn=-2,@③+④得,a”=6x(-3)”T-2=3x(_3)“-】_i,8分2代入°”一皿4“+4,得3x(_3)”1_]_励am++43x(-3)n--m3x(3)z+33x(—3)'”+3所以[3x(一3
6、严一1-加][3x(一3)"'+3]=[3x(一3)”-l-m][3x(一3严+3],10分整理得,(加+1)(—3)"'+3x(―3)”=0,所以加+1=(_3)”"“由加是不超过100的正整数,可得2W(-3)"W101,所以几一加+1=2或4,当/?一加+1=2时，加+1=9,此时m=8,贝ljn=9»符合题意；当卅一加+1=4II寸，加+1=81,此时加=80,贝ijn=83,符合题意.ci—ma+4故使仏旦=上士_成立的所有数对⑺M)为(&9),(80,83).Q”+i一冊^-.14-416分探
7、究3：设数列｛a”｝的前〃项和S”>0卫]=l,a2=3,且当n>2Ht,anan+｝=(an+1-an)Sn.求证:数列｛S”｝是等比数列；求数列｛色｝的通项公式；(1)(2)(3)ga令亿=」,记数列0”｝的前斤项和为7；.设2是整数，问是否存在正整数〃，使等a+3)(%+3)7応飞成立？若存在，求出“和相应的2值；若不存在，说明理由.19•解:(1)当心时,代入ana/J+1=(an+l-an)Sn并化简得S；=S,,」S沖S»3),H+1=(cin^-an)Sn,又由①=1卫2=3得$2=4,an
8、an+一W”+l代入①如=(。3—^2)$2口J解得％=12,・：S]=lyS2=4,S3=16,也满足S；=S-S川，而S”恒为正值,.••数列仅｝是等比数列(2)由⑴知S”=4"j.当Q2时4=S”_S_i=3x4"一2乂ciy—S
9、—1,••cin(3)当n>2时，a11铲+厂4心+1'1■:.b1,3x4-2=3x4心9d]n=>29a,此时hn=二=9x3x4"-_(①+3)(%+3)(3x4-2+3)(3x4
