3、得,即,因为且,所以,又因为,所以不符合条件,舍去.因此,此时.点评：不难看出这两小题经整除性分析就可以得到结果,属于较典型的“整除性问题”.例3数列满足：,,,如果在2010项之前恰好出现666个0,求的值.解由观察可知1,1,0在这个数列中必成周期出现.设,出现第一个1,1,0之前的项为项,写出数列的前几项：,由观察可得：当为奇数时,出现第一个1,1,0之前的两项必为3,2,且出现1的个数为,于是；此时可以被3整除；当为偶数时,出现第一个1,1,0之前的两项必为1,2,且出现1的个数为,,此时可以被3整除
4、.由出现666个0并以1,1,0为周期的项数为666*3=1998项.下面分情况讨论：如果第2010项恰为0,则=2010-1998=12,由12+1不可以被3整除,而12可以被3整除可得,于是是奇数,满足条件.如果第2010项为1,2009项为0,则t=2009-1998=11,由11不可以被3整除,而11+1可以被3整除可得,于是是偶数,满足条件.如果第2010项为1,2009项为1,则=2008-1998=10,由10不可以被3整除,而10+1也不可以被3整除可知这种情况不可能出现.综上可得满足条件的的
5、值为8或9点评：本题关键在于找到的属性,通过适当讨论解决问题,过程虽然有点复杂,但是体现了整除思想的重要应用.2利用式子的变形处理问题例4已知是等差数列,是公比为的等比数列,,记为数列的前项和,若是某一正整数,求证：（1）是整数；（2）数列中每一项都是数列中的项.解（1）设的公差为,由是公比为的等比数列,可知且（）,.因为,所以（II）且（III）由（II）式和（III）式解得或,注意到,所以,因为是正整数,所以是整数,即是整数.（2）我们用两种方法证明数列中每一项都是数列中的项.方法一设数列中任意一项为.由
6、（1）的证明可知我们可以设数列中的任意一项为=.现在只要证明存在正整数,使得,即证明在的方程中,有正整数解.显然,于是即,因此.若,由（1）的证明知,于是,从而,.当时,由于,我们只需考虑的情况.因为,所以,由可知是正整数,因此是正整数,于是数列中的任意一项与数列的第项相等,从而结论成立.方法二因为,所以,于是=.当时,取=,于是=+1即数列{}中的第项为数列{}的第=+1项；当,则,那么.综上中每一项都是数列中的项.例5已知数列的通项为,若可以写成的形式,则称为“美列”,问数列中是否存在“美列”,若存在求出
7、所有的“美列”,不存在说明理由.分析：列举前几项易发现,但再列举就很难发现满足要求的“美列”了.怎么办？我们再从数的奇偶性方向考察一下,发现为奇数,则推出也为奇数,则必为奇数,再考虑,对分奇数与偶数讨论一下.当b为偶数时,由和可知,于是,从而,因此,由整除可令（IV）且,（V）由（IV）式减去（V）式可以得到,于是,（VII）观察（VII）式,发现等式左边是偶数,所以且,从而,则且.当为奇数时,由和可知,于是,因此.（VIII）于是整除（VIII）式的左边.因为中的每一项都是奇数,且总项数也是奇数,所以为奇数
8、,因此整除,于是,矛盾于假设,因此当b为奇数时不存在“美列”.综上只有为“美列”.点评：上面的解题过程都用到了分类思想,特别是对式子的变形,如在两题中都是重要变形步骤,这正是解决此题的难点所在,所以平时对于式子的变形要多加重视.数的整除性应用是比较困难的一个考察点,以前在数学竞赛中常常出现,在一般考试当中较少出现,属于比较“冷门”的知识点,但近年来在一些高考试题和一些高校自主招生考试中有所体现,所以
